Opi › Opettajille › Päättely ja ongelmanratkaisu

Opettajille

Päättely ja ongelmanratkaisu

Laskutaito ei ole koko matematiikka. Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteissa (POPS 2014) jo 1.–2. luokan tavoitteisiin kuuluu, että oppilas esittää ratkaisujaan ja päätelmiään ”konkreettisin välinein, piirroksin, suullisesti ja kirjallisesti” ja kehittää päättely- ja ongelmanratkaisutaitojaan. 3.–6. luokalla mukaan tulee vielä taito ”arvioida ratkaisun järkevyyttä ja tuloksen mielekkyyttä”. Päättely on selittämistä, perustelemista ja säännönmukaisuuksien huomaamista: ”Miten tiedät?” Ongelmanratkaisu on sitä, että oppilas käyttää osaamistaan tilanteessa, jota hän ei ole ennen kohdannut.

Päättelyä varten ei tarvita erillistä tuntia. Se kasvaa niistä kysymyksistä, joita esität joka päivä, ja siitä, että luokassa on tapana selittää ääneen. Alla olevat ideat sopivat mihin tahansa aiheeseen ja vuosiluokkaan.

Kysymyksiä, jotka saavat perustelemaan

Pidä muutama kysymys esillä luokan seinällä tai pienellä kortilla ja käytä niitä, kunnes niistä tulee tapa:

• Mitä huomaat? Mitä haluaisit tietää?
• Mikä on samaa, mikä erilaista?
• Miten päättelit? Miten voit perustella sen?
• Voiko sen laskea toisin? Kumpi tapa on nopeampi?
• Mitä tapahtuisi, jos…?
• Keksi esimerkki. Keksi sitten sellainen, jota kukaan muu ei keksi.
• Pitääkö se paikkansa aina, joskus vai ei koskaan?
• Etsi virhe. Onko vastaus järkevä?

Vakuuta minut

Anna oppilaille asia, jonka he jo tietävät, ja pyydä heitä vakuuttamaan sinut (tai epäilevän parin) siitä, että se pitää paikkansa. ”Koska minä vain tiedän” ei riitä, vaan tarvitaan perustelu.

• 1. luokka: Vakuuta minut, että 7 + 8 = 15. Tupla 7 + 7 on 14, ja 8 on yhtä enemmän kuin 7, joten vastaus on yhtä enemmän kuin 14. Tai kymmenylityksellä: 7 + 3 = 10 ja vielä 5, eli 15.
• 3. luokka: Vakuuta minut, että 6 · 7 = 42. 5 · 7 = 35, ja kun siihen lisätään vielä yksi seitsemän, saadaan 42.
• 4.–5. luokka: Vakuuta minut, että ⅗ on enemmän kuin ½. Puolet viidestä viidesosasta on kaksi ja puoli viidesosaa, ja kolme viidesosaa on enemmän kuin se.

Piirros, kymmenjärjestelmävälineet tai lukusuora kelpaavat todisteeksi. Usein paras selitys on kuva.

Totta vai tarua?

Kirjoita taululle väite. Oppilaat päättävät, pitääkö se paikkansa, ja perustelevat kantansa. Sekoita tosia ja epätosia väitteitä, jotta oikeaa vastausta ei voi arvata.

Etsi virhe

Näytä laskettu tehtävä, jossa on virhe, ja pyydä oppilaita löytämään se, selittämään se ja korjaamaan se. Toisen tekemän virheen etsiminen tuntuu turvallisemmalta kuin omien virheiden korjaaminen, ja voit ottaa käsittelyyn juuri ne väärinkäsitykset, joiden tiedät olevan tulossa.

• 2.–3. luokka: 52 − 27 = 35. Ykkösissä on laskettu 7 − 2, vaikka pitäisi laskea 2 − 7. Koska 2 − 7 ei mene, lainataan kymppi: 12 − 7 = 5. Vitosesta on lainattu, joten siinä on 4, ja 4 − 2 = 2. Vastaus on 25. Tarkistus yhteenlaskulla: 25 + 27 = 52.
• 3. luokka: 450 pyöristettynä satojen tarkkuuteen on 400. 450 on täsmälleen 400:n ja 500:n puolivälissä, ja silloin pyöristetään ylöspäin: 500.
• 4. luokka: 832 : 4 = 28 (jakokulmassa). 8 : 4 = 2, mutta 3 : 4 ei mene, joten osamäärään olisi pitänyt kirjoittaa 0 ennen kuin 2 pudotetaan. Oikea vastaus on 208. Tarkistus paljastaa virheen: 4 · 28 = 112, mutta 4 · 208 = 832.
• 4. luokka: ¼ + ¼ = ²⁄₈. Yksi neljäsosa ja yksi neljäsosa ovat kaksi neljäsosaa, ²⁄₄. Nimittäjiä ei lasketa yhteen, sillä nimittäjä kertoo osien koon.
• 5. luokka: 0,4 · 3 = 0,12. 4 kymmenesosaa · 3 = 12 kymmenesosaa eli 1,2. Arviokin paljastaa virheen: 0,4 on vähän alle puoli, joten tulon pitää olla vähän alle 1,5.

Avoimet tehtävät

Tehtävät, joihin on monta vastausta tai yksi vastaus mutta monta reittiä, ovat matalan kynnyksen ja korkean katon tehtäviä: jokainen pääsee alkuun, ja nopeasti etenevällä on aina mihin jatkaa.

• Mikä tahansa luokka: Vastaus on 12. Mikä voisi olla tehtävä? 1. luokalla joku keksii 10 + 2, 6. luokalla 3 · 4, 48 : 4 tai 25 % luvusta 48.
• 1. luokka: Kahdella nopalla heitetään yhteensä 6. Millä tavoilla se voi tapahtua? 1 + 5, 2 + 4 ja 3 + 3, tai 5 tapaa, jos 5 + 1 ja 4 + 2 lasketaan eri tavoiksi. Keskustelu siitä, kumpi on oikein, on jo päättelyä.
• 3.–4. luokka: Ostin kioskilta jäätelön ja maksoin tasan 2,10 € pelkillä 20 sentin ja 50 sentin kolikoilla. Mitä kolikoita käytin? Yhden 50 sentin ja kahdeksan 20 sentin kolikkoa tai kolme 50 sentin ja kolme 20 sentin kolikkoa. 50 sentin kolikoita täytyy olla pariton määrä. Jos niitä on parillinen määrä, ne tekevät yhdessä tasaeuroja, ja loppusumma (2,10 €, 1,10 € tai 0,10 €) päättyy 10 senttiin. Sellaista summaa ei saa 20 sentin kolikoista.
• 5.–6. luokka: Suorakulmion piiri on 20 cm, ja sen sivujen pituudet ovat kokonaisia senttimetrejä. Mikä sen pinta-ala voi olla? Pituus ja leveys ovat yhteensä 10 cm, joten pinta-ala voi olla 9, 16, 21, 24 tai 25 cm². Suurin on neliöllä, jonka sivu on 5 cm. Siitä syntyy heti uusi keskustelu: onko neliö suorakulmio?

Keksi oma tehtävä. Anna lasku, esimerkiksi 4 · 6 = 24, ja pyydä oppilaita keksimään siihen sanallinen tehtävä. Parit vaihtavat tehtäviä ja ratkaisevat toistensa tehtävät. Tästä näkee nopeasti, ymmärtääkö oppilas laskutoimituksen: ”Minulla on 4 omenaa ja 6 päärynää” sopii laskuun 4 + 6, ei kertolaskuun, kun taas ”Neljässä pussissa on kussakin 6 pullaa” sopii.

Sanallinen tehtävä ja vastauslause

Sanallisissa tehtävissä kannattaa edetä joka kerta samassa järjestyksessä: lue tehtävä rauhassa, kerro omin sanoin, mitä tiedetään ja mitä kysytään, arvioi vastauksen suuruus, laske ja kirjoita lopuksi vastauslause. Esimerkki 3. luokalle:

Onni on säästänyt 20 €. Hän ostaa kirpputorilta 3 kirjaa, jotka maksavat 4 € kappale. Paljonko rahaa jää jäljelle?

• Tiedetään: rahaa on 20 €, kirjoja ostetaan 3 ja yksi kirja maksaa 4 €.
• Kysytään: paljonko rahaa jää.
• Lasketaan: 3 · 4 € = 12 € (kirjat maksavat yhteensä) ja 20 € − 12 € = 8 € (jää jäljelle).
• Vastaus: Onnille jää 8 €.

Vaadi kokonainen vastauslause: ”Onnille jää 8 €”, ei pelkkä ”8”. Kun oppilas kirjoittaa sen, hän palaa vielä kysymykseen ja huomaa, vastasiko hän siihen. Lisää loppuun tarkistus: käytetyn ja jäljelle jääneen rahan pitää olla yhteensä se, mitä oli alussa, eli 12 € + 8 € = 20 €.

Arvioi ensin. Arvio ennen laskemista on arkinen tapa harjoitella sitä, mitä opetussuunnitelmassa kutsutaan ratkaisun järkevyyden arvioimiseksi. ”Kuusi uimahallilippua maksaa 4,90 € kappale. Paljonko ne maksavat yhteensä?” Lippu maksaa melkein 5 €, joten arvio on 6 · 5 € = 30 €. Tarkka vastaus 29,40 € on lähellä arviota, mutta 2,94 € tai 294 € ei voi olla oikein.

Avainsanoihin ei kannata luottaa. ”Käyttää” ja ”jää” kuulostavat vähennyslaskulta, mutta tehtävä ”Kun Aino oli käyttänyt 5 €, hänelle jäi 3 €. Paljonko hänellä oli aluksi?” ratkaistaan yhteenlaskulla: 5 € + 3 € = 8 €. Yksittäisten sanojen metsästämistä parempi keino on, että oppilas kertoo tilanteen omin sanoin ja piirtää sen.

Piirrä tilanne: palkkimalli

Palkkimallissa määrät piirretään palkkeina, jolloin näkee, mitä tiedetään ja mitä etsitään, ennen kuin laskutoimitus valitaan. Se on yksi piirtämisen tapa muiden joukossa, eikä kaikissa oppikirjoissa käytetä sitä, mutta se toimii hyvin monivaiheisissa tehtävissä. Nuorimmat aloittavat osista ja kokonaisuudesta, samaan tapaan kuin hajotelmissa: ”Luokassa on 23 oppilasta. Hiihtopäivänä 14 oppilasta hiihtää ja loput luistelevat. Montako luistelee?” Kokonaisuus on 23 ja yksi osa 14, joten toinen osa on 23 − 14 = 9.

Palkkimalli auttaa myös murtoluvuissa. 5.–6. luokalle: ”Toivo käytti ⅖ säästöistään, ja hänelle jäi 18 €. Paljonko hänellä oli alussa?” Piirretään palkki, jossa on 5 yhtä suurta osaa, ja merkitään niistä 2 käytetyiksi. Jäljelle jääneet 3 osaa ovat 18 €, joten yksi osa on 18 € : 3 = 6 € ja koko palkki 5 · 6 € = 30 €. Tarkistus: ⅖ 30 eurosta on 12 €, ja 30 € − 12 € = 18 €.

Lauseenalkuja selittämiseen

Moni oppilas tietää vastauksen mutta ei osaa sanoa, miksi. Valmiit lauseenalut antavat siihen sanat. Käytä niitä itse mallina, pidä ne esillä ja odota kokonaisia lauseita:

• Tiedän, että…, joten…
• Ensin…, sitten…, joten vastaus on…
• Se ei voi olla…, koska…
• Olen samaa (tai eri) mieltä kuin…, koska…
• Tämä pitää paikkansa aina / joskus / ei koskaan, koska…
• Vastaukseni on järkevä, koska arvioin sen olevan noin…

Yhdistä lauseenalut parikeskusteluun: oppilas kertoo ajatuksensa ensin parilleen ja vasta sitten koko luokalle. Päättelyä harjoitellaan myös ohjelmoinnissa, joka kuuluu matematiikkaan: kun toimintaohje ei toimi, oppilas etsii virheen, selittää sen ja korjaa sen.

Lyhyet vastaukset

Jatka oppimista