Opi › Aiheet › Geometria

Aiheopas

Geometria

Geometria on se osa matematiikkaa, jossa tutkitaan muotoja, kokoa ja sijaintia. Alakoulussa siihen kuuluvat tasokuviot (litteät kuviot, kuten kolmio ja neliö), kappaleet (kolmiulotteiset muodot, kuten kuutio ja pallo), kulmat, symmetria sekä sijainti ja suunta: missä jokin on, miten sinne pääsee ja miten pisteen paikka kerrotaan koordinaatistossa. Matikan kirjassa geometria kulkee yleensä yhdessä mittaamisen kanssa, sillä opetussuunnitelmassakin sisältöalueen nimi on ”Geometria ja mittaaminen”.

Mitä millä luokalla opitaan

Valtakunnallinen perusopetuksen opetussuunnitelma (POPS 2014) antaa geometrian sisällöt kahtena kokonaisuutena, 1.–2. luokalle ja 3.–6. luokalle, ja esiopetuksella on omat perusteensa. Alkuopetuksessa tutustutaan ympäristön muotoihin, rakennetaan ja piirretään kuvioita ja kappaleita sekä harjoitellaan suunta- ja sijaintisanoja. 3.–6. luokalla luokitellaan kuvioita ja kappaleita, mitataan kulmia, tutkitaan symmetriaa ja koordinaatistoa sekä käytetään mittakaavaa. Tarkka jako vuosiluokille vaihtelee kunnan opetussuunnitelman ja oppikirjan mukaan, joten taulukko kertoo, mitä kullakin luokalla yleensä tehdään.

Tärkeimmät ideat

1. Tasokuviot ja monikulmiot

Tasokuvio on litteä. Suljettu tasokuvio, jota rajaavat pelkät suorat sivut, on monikulmio. Sen nurkkia kutsutaan kärjiksi. Suomeksi monikulmion nimi kertoo suoraan, montako kulmaa ja siis myös montako sivua siinä on:

Monikulmio on säännöllinen, jos sen kaikki sivut ovat yhtä pitkiä ja kaikki kulmat yhtä suuria. Stop-merkki on säännöllinen kahdeksankulmio, ja kennon solut ovat lähes säännöllisiä kuusikulmioita.

Kolmioita nimetään sekä sivujen että kulmien mukaan. Sivujen mukaan kolmio on tasasivuinen, jos kaikki kolme sivua ovat yhtä pitkiä, tasakylkinen, jos kaksi sivua on yhtä pitkiä, ja erisivuinen, jos kaikki sivut ovat eripituisia. Kulmien mukaan kolmio voi olla suorakulmainen (yksi suora kulma), teräväkulmainen (kaikki kulmat teräviä) tai tylppäkulmainen (yksi tylppä kulma).

Nelikulmioita on monenlaisia. Suunnikkaassa vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset. Suorakulmio on suunnikas, jossa kaikki neljä kulmaa ovat suoria. Neljäkkäässä kaikki neljä sivua ovat yhtä pitkiä, ja arkikielessä sitä kutsutaan usein salmiakiksi tai vinoneliöksi. Neliö on sekä suorakulmio että neljäkäs: siinä on neljä suoraa kulmaa ja neljä yhtä pitkää sivua. Puolisuunnikkaassa on ainakin yksi pari yhdensuuntaisia sivuja.

Ympyrällä ei ole sivuja eikä kärkiä, joten se ei ole monikulmio. Sen jokainen piste on yhtä kaukana keskipisteestä. Säde on jana keskipisteestä ympyrän kehälle, ja halkaisija kulkee kehältä kehälle keskipisteen kautta, joten se on kaksi kertaa säteen pituinen. Ympyrä piirretään harpilla: harpin kärki asetetaan keskipisteeseen ja haarojen väli säädetään säteen pituiseksi.

2. Kappaleet: tahkot, särmät ja kärjet

Kappale on kolmiulotteinen. Sen tasaiset pinnat ovat tahkoja, kahden tahkon yhtymäviivat särmiä ja nurkat kärkiä. Lapset sanovat tahkoja helposti sivuiksi, mutta koulussa kappaleista puhutaan tahkoina, särminä ja kärkinä.

3.–6. luokalla kappaleet ryhmitellään opetussuunnitelman mukaisesti lieriöihin, kartioihin ja muihin kappaleisiin. Matematiikassa lieriö tarkoittaa muutakin kuin pyöreää putkea. Lieriössä on kaksi samanlaista pohjaa vastakkain: jos pohjat ovat monikulmioita, lieriö on särmiö, ja jos ne ovat ympyröitä, se on ympyrälieriö, kuten säilyketölkki. Kartiossa on yksi pohja, ja sivupinnat kapenevat yhteen kärkeen: monikulmiopohjainen kartio on pyramidi, ja ympyräpohjainen kartio on se, jota arjessa sanotaan kartioksi, kuten jäätelötötterö. Pallossa on yksi kaareva pinta eikä yhtään särmää eikä kärkeä.

3. Piste, jana, suora ja kulma

3.–6. luokalla geometrian peruskäsitteet saavat tarkat nimet. Jana on suoran viivan pala, jolla on kaksi päätepistettä, kuten kolmion sivu. Suora jatkuu loputtomiin molempiin suuntiin. Suorat ovat yhdensuuntaiset, jos ne eivät koskaan kohtaa, kuten junaradan kiskot. Ne ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos ne leikkaavat suorassa kulmassa, kuten plusmerkin viivat.

Kulma muodostuu kahdesta samasta pisteestä lähtevästä viivasta. Niitä sanotaan kulman kyljiksi, ja piste on kulman kärki. Kulmaa voi ajatella myös kääntymisenä: neljäsosakierros on suora kulma, kuten kirjan tai oven nurkka. Kaksi suoraa kulmaa on puoli kierrosta eli oikokulma, ja neljä suoraa kulmaa on täysi kierros eli täysikulma.

Kulmat mitataan asteina. Täysikulma on 360°, oikokulma 180° ja suora kulma 90°. Alle 90° kulma on terävä, ja yli 90° mutta alle 180° kulma on tylppä. Kulmia mitataan ja piirretään astelevyllä: astelevyn keskipiste asetetaan kulman kärkeen ja nollaviiva toisen kyljen päälle, ja lukema luetaan siltä asteikolta, joka alkaa tämän kyljen kohdalta nollasta. Astelevyssä on kaksi asteikkoa, joten tavallisin virhe on lukea väärää, jolloin 50 asteen kulmasta tulee 130 asteen kulma. Kysy ennen mittaamista, onko kulma terävä vai tylppä. Silloin lapsi tietää, kumpaa lukemaa odottaa.

4. Kulmien summat

6. luokalla kulmia lasketaan usein mittaamatta, muutaman tosiasian avulla:

• Suoran viivan samalle puolelle vierekkäin jäävät kulmat ovat yhteensä 180°, koska ne muodostavat oikokulman. Jos toinen on 35°, toinen on 180° − 35° = 145°.
• Kolmion kulmien summa on 180°. Jos kolmion kulmista kaksi on 50° ja 70°, kolmas on 180° − 120° = 60°.
• Nelikulmion kulmien summa on 360°. Esimerkiksi suorakulmiossa 4 · 90° = 360°.

Kolmion kulmien summan voi näyttää paperilla. Leikkaa paperista mikä tahansa kolmio, revi siitä kolme kulmaa irti ja aseta ne vierekkäin niin, että kärjet ovat samassa pisteessä. Kulmat muodostavat aina yhdessä oikokulman eli 180°.

5. Symmetria

Symmetria-akseli jakaa kuvion kahteen puolikkaaseen, jotka ovat toistensa peilikuvia. Jos kuvion leikkaa irti ja taittaa akselia pitkin, puolikkaat osuvat täsmälleen päällekkäin. Säännöllisellä monikulmiolla on yhtä monta symmetria-akselia kuin sillä on sivuja. Ympyrällä niitä on äärettömän monta, sillä jokainen keskipisteen kautta kulkeva suora käy. Ruutupaperilla lapset harjoittelevat peilausta: kuvion jokainen piste siirtyy akselin toiselle puolelle yhtä kauas akselista.

Opetussuunnitelma mainitsee 3.–6. luokalla myös kiertosymmetrian ja siirtosymmetrian, esimerkiksi kuvataiteen yhteydessä. Kiertosymmetrinen kuvio näyttää samalta, kun sitä kierretään keskipisteensä ympäri vähemmän kuin täyden kierroksen: säännöllinen kuusikulmio näyttää samalta jo kuudesosakierroksen (60°) jälkeen. Siirtosymmetriassa sama kuvio toistuu siirrettynä, kuten tapetissa, kankaan painokuviossa, villasukan neulekuviossa tai mehiläisen kennossa.

6. Sijainti, koordinaatisto ja mittakaava

Pienet lapset kuvailevat, missä tavarat ovat (päällä, alla, välissä, oikealla, vasemmalla), ja antavat ohjeita, kuten ”kolme askelta eteenpäin ja käänny oikealle”. Tästä alkavat myös ohjelmoinnin alkeet: opetussuunnitelman mukaan 1.–2. luokalla laaditaan vaiheittaisia toimintaohjeita ja testataan niitä. 3.–6. luokalla ohjelmoidaan graafisessa ohjelmointiympäristössä, jossa hahmon liikkeissä tarvitaan suuntia, askelia ja kääntymiskulmia.

Yleensä 4. luokalla tutustutaan koordinaatistoon. Pisteen paikka kerrotaan kahdella luvulla: ensimmäinen kertoo, kuinka paljon mennään vaakasuoraan x-akselia pitkin, ja toinen, kuinka paljon ylöspäin y-akselin suuntaan. Pisteeseen (3, 5) mennään siis 3 askelta oikealle ja 5 ylös. Järjestyksen muistaa aakkosista: x tulee ennen y:tä. Aluksi käytetään ensimmäistä neljännestä, jossa kumpikaan luku ei ole negatiivinen. Myöhemmin koordinaatisto laajenee kaikkiin neljään neljännekseen, ja kun piste (2, 3) peilataan y-akselin suhteen, siitä tulee (−2, 3).

Koordinaatistossa näkee hyvin, mitä siirto tekee: kuvio liukuu paikasta toiseen kääntymättä. Piste (2, 1) siirrettynä 3 ruutua oikealle ja 2 ylös päätyy pisteeseen (5, 3). Kierrossa kuvio kääntyy pisteen ympäri, ja peilauksessa se kääntyy akselin yli. Kaikissa kolmessa kuvion muoto ja koko pysyvät samoina.

Mittakaava kertoo, kuinka paljon kartta tai piirustus on pienennetty. Pohjapiirroksessa, jonka mittakaava on 1 : 100, 1 cm on todellisuudessa 100 cm eli 1 m. Kartalla, jonka mittakaava on 1 : 50 000, 4 cm on luonnossa 200 000 cm eli 2 km. Suunnistuskartta on tähän hyvä harjoitus: mittakaavassa 1 : 10 000 kartan 3 cm on maastossa 30 000 cm eli 300 m.

Yleisiä virheitä

• ”Se on salmiakki”: kärjelleen käännetty neliö on yhä neliö, koska sen kulmat ovat edelleen suoria ja sivut yhtä pitkiä. Kuvion kääntäminen ei muuta sen nimeä.
• ”Neliö ei ole suorakulmio”: on se. Suorakulmiossa on neljä suoraa kulmaa, ja niin on neliössäkin. Neliö on suorakulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkiä.
• Vain tutut kuvat: kolmio tunnistetaan vain, kun se seisoo kannallaan. Näytä kuvioita eri asennoissa, erikokoisina ja erimuotoisina.
• Lävistäjä symmetria-akselina: kun suorakulmaisen paperin taittaa lävistäjää pitkin, puolikkaat eivät osu päällekkäin. Kokeilkaa yhdessä.
• Pitkät kyljet, iso kulma: kulman koko riippuu siitä, kuinka paljon kyljet ovat kääntyneet toisistaan, ei viivojen pituudesta.
• Tahkot sivuina: kappaleessa puhutaan tahkoista, särmistä ja kärjistä. Sivut ja kärjet kuuluvat tasokuvioille.
• Koordinaatit väärin päin: lapsi menee ensin ylös ja vasta sitten sivulle. Oikea järjestys on ensin x (vaakasuoraan), sitten y (pystysuoraan).

Viiden minuutin pelejä kotiin

• Muotojahti keittiössä. Etsikää ympyrälieriö, suorakulmainen särmiö ja pallo: säilyketölkki, murolaatikko ja appelsiini. Laskekaa sitten yhdessä murolaatikon tahkot, särmät ja kärjet (6, 12 ja 8).
• Paperinen lumihiutale. Taita paperi kahtia ja vielä kerran kahtia, leikkaa reunoihin lovia ja avaa. Taitekohdat ovat symmetria-akseleita, ja kuvio toistuu niiden molemmin puolin peilikuvana.
• Robotti. Lapsi ohjaa sinut sohvalle pelkillä käskyillä: ”4 askelta eteenpäin, neljäsosakierros vasemmalle, 2 askelta eteenpäin.” Robotti tekee täsmälleen niin kuin käsketään, joten virheet näkyvät heti. Koulussa samaa harjoitellaan ohjelmoinnin alkeissa.
• Tangram. Tangramin seitsemästä palasta (viisi kolmiota, neliö ja suunnikas) saa satoja kuvia. Leikatkaa palat pahvista ja kokeilkaa, saako niistä kaikista yhdessä koottua neliön.
• Laivanupotus koordinaateilla. Piirtäkää kumpikin pieni koordinaatisto ja piilottakaa siihen laivoja pisteisiin. Vuorotellen arvataan koordinaatteja, kuten (4, 2), ja yritetään löytää toisen laivat.

Ilmaiset tehtävämonisteet geometriaan

Tulosta monisteet harjoitteluun kotona tai koulussa. Jokaisen monisteen toisella sivulla ovat vastaukset.

Tasokuviot1. luokka, 2. luokka · Nimet, sivut ja kärjetLataa PDF

Lyhyet vastaukset

Jatka oppimista