Beequation
Opi › Aiheet › Yhteen- ja vähennyslasku
Aiheopas
Yhteen- ja vähennyslasku
Yhteenlaskussa määriä yhdistetään ja katsotaan, paljonko niitä on yhteensä. Vähennyslaskussa jostakin määrästä otetaan pois, tai kahta määrää verrataan ja katsotaan, kuinka suuri niiden ero on. Nämä laskutoimitukset kuuluvat yhteen: jos 7 + 5 = 12, niin 12 − 5 = 7. Koulussa niitä opetellaan rinnakkain, ensin välineillä ja kuvilla, sitten päässä ja lopulta kirjallisesti allekkain laskien.
Koulussa laskun osilla on omat nimensä. Laskussa 7 + 5 = 12 luvut 7 ja 5 ovat yhteenlaskettavia ja 12 on summa. Laskussa 12 − 5 = 7 luku 12 on vähenevä, 5 on vähentäjä ja 7 on erotus.
Mitä millä luokalla opitaan
Valtakunnallinen perusopetuksen opetussuunnitelma (POPS 2014) antaa matematiikan sisällöt kahtena jaksona, 1.–2. luokalle ja 3.–6. luokalle. Alkuopetuksessa yhteen- ja vähennyslaskutaitoja kehitetään sen mukaan ”ensin lukualueella 0–20 ja sitten lukualueella 0–100”, ja 3.–6. luokalla harjoitellaan laskualgoritmeja eli allekkain laskemista. Tarkka jako vuosiluokille vaihtelee kunnan opetussuunnitelman ja oppikirjan mukaan, joten taulukko kertoo, mitä kullakin luokalla yleensä tehdään.
| Luokka | Mitä opitaan |
|---|---|
| Esiopetus | Lukumäärien vertailua: enemmän, vähemmän, yhtä monta. Esineitä lisätään ja otetaan pois leikeissä ja arjen tilanteissa, yleensä kymmeneen asti. Kirjallisia laskuja ei vielä tehdä. |
| 1. luokka | Merkit +, − ja =. Lukujen 1–10 hajotelmat, kymppiparit ja tuplat. Yhteen- ja vähennyslasku lukualueella 0–20, myös kymmenylitys ja kymmenalitus (esimerkiksi 8 + 5 ja 13 − 5). Osassa kouluja lukualue laajenee keväällä sataan. |
| 2. luokka | Lukualue 0–100. Päässälaskua kymmenillä (30 + 40) sekä kymmenylityksiä ja -alituksia (36 + 7, 52 − 8). Yhteenlaskun vaihdannaisuus ja liitännäisyys. Vähennyslaskun tarkistus yhteenlaskulla. Sanallisia tehtäviä. |
| 3. luokka | Lukualue 0–1000. Allekkain laskeminen: yhteenlasku muistinumeron kanssa ja vähennyslasku lainaamalla. Lukujen pyöristäminen kymmeniin ja satoihin, jotta tuloksen suuruusluokan voi arvioida etukäteen. |
| 4. luokka | Lukualue 0–10 000, joissakin kouluissa 0–100 000. Desimaalilukujen yhteen- ja vähennyslasku päässä ja allekkain. Murtolukujen yhteen- ja vähennyslaskua. Negatiivisiin lukuihin tutustutaan esimerkiksi lämpötilojen avulla. |
| 5. luokka | Luvut miljoonaan asti. Suurten lukujen ja desimaalilukujen yhteen- ja vähennyslasku. Murtolukujen laventaminen ja supistaminen. Tuloksen arvioiminen pyöristämällä ja monivaiheiset sanalliset tehtävät. |
| 6. luokka | Miljoonat ja miljardit. Negatiiviset luvut laskuissa: jos lämpötila on −8 °C ja nousee 5 astetta, mittari näyttää −3 °C. Erinimisten murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku. Kuudennen luokan arvioinnin kansallisissa kriteereissä arvosanan 8 kuvaus on, että oppilas ”laskee sujuvasti päässä ja kirjallisesti hyödyntäen laskutoimitusten ominaisuuksia”. |
Tärkeimmät ideat
1. Hajotelmat ja kymppiparit ovat perusta
Luvun hajotelmat kertovat, mistä osista luvun voi koota: 7 on 6 ja 1, 5 ja 2 tai 4 ja 3. Opetussuunnitelmassa sanotaan erikseen, että 1.–2. luokalla ”perehdytään lukujen 1–10 hajotelmiin”. Hajotelmia voi havainnollistaa esimerkiksi talona: katolla on luku ja kerroksissa sen osat.
Tärkeimmät hajotelmat ovat luvun 10 hajotelmat eli kymppiparit. Niitä on vain kuusi: 0 + 10, 1 + 9, 2 + 8, 3 + 7, 4 + 6 ja 5 + 5. Kun lapsi osaa ne ulkoa, niistä on apua kaikkialla: jos 6 + 4 = 10, niin 16 + 4 = 20 ja 60 + 40 = 100. Toinen tukipilari ovat tuplat (6 + 6 = 12, 7 + 7 = 14) ja lähes tuplat: 6 + 7 on yhden enemmän kuin 6 + 6 eli 13. Harjoitusideoita löydät oppaasta kymppiparit ja hajotelmat.
2. Kymmenylitys: ensin kymppiin, sitten yli
Kymmenylitys on 1. luokan tärkeimpiä taitoja. Opetushallitus nimeää ensimmäisen luokan keskeiseksi tavoitteeksi lukuhajotelmat alueella 0–20 ja kymmenylityksen, ja elokuusta 2025 lähtien 1. tai 2. luokalla on ollut yksi matematiikan lisätunti viikossa juuri tällaisten perustaitojen varmistamiseen.
Laskussa 8 + 5 lapsi ei laske viittä askelta yksitellen, vaan täydentää ensin kymppiin: 8 + 2 = 10. Viitosesta on jäljellä 3, joten 10 + 3 = 13. Siksi hajotelmien pitää olla hallussa: lapsen täytyy tietää, että luvun 8 kymppipari on 2 ja että 5 on 2 ja 3.
Vähennyslaskussa sama toimii toiseen suuntaan, ja silloin puhutaan kymmenalituksesta. Laskussa 13 − 5 mennään ensin kymppiin (13 − 3 = 10) ja vähennetään sitten loput (10 − 2 = 8).
3. Yhteen- ja vähennyslasku ovat samaa perhettä
Vähennyslasku on yhteenlaskun käänteinen laskutoimitus. Yhdestä laskusta saa neljä: 7 + 5 = 12, 5 + 7 = 12, 12 − 5 = 7 ja 12 − 7 = 5. Samaan perustuu vähennyslaskun tarkistus yhteenlaskulla: erotus ja vähentäjä ovat yhteensä vähenevä. Jos 62 − 38 = 24, niin 24 + 38 = 62.
Alkuopetuksessa tutustutaan myös kahteen yhteenlaskun ominaisuuteen. Vaihdannaisuus tarkoittaa, ettei järjestyksellä ole väliä: 3 + 9 = 9 + 3, joten kannattaa aloittaa isommasta luvusta ja lisätä siihen pienempi. Liitännäisyys tarkoittaa, että saa valita, mitkä luvut laskee ensin yhteen: laskussa 7 + 6 + 4 kannattaa laskea ensin kymppipari 6 + 4 = 10 ja sitten 7 + 10 = 17. Vähennyslaskussa järjestystä ei voi vaihtaa: 9 − 3 ei ole sama kuin 3 − 9.
4. Ensin päässä, sitten allekkain
Lukualueella 0–100 lapset laskevat päässä, ja opetussuunnitelma puhuu päässälaskustrategioista. Paras keino riippuu luvuista:
- Kymmenet ja ykköset erikseen: 34 + 25 = 30 + 20 + 4 + 5 = 59.
- Kymmenylitys isommilla luvuilla: 47 + 6 = 47 + 3 + 3 = 53.
- Pyöristä ja korjaa: kun lisäät 9, lisää 10 ja ota 1 pois. 46 + 9 = 56 − 1 = 55.
- Lisää eteenpäin: erotuksen voi laskea täydentämällä pienemmästä luvusta suurempaan. Laskussa 62 − 38 matka 38:sta 40:een on 2, 40:stä 60:een 20 ja 60:stä 62:een 2, eli yhteensä 2 + 20 + 2 = 24.
Eteenpäin lisääminen on usein nopein tapa, kun luvut ovat lähellä toisiaan, kuten laskussa 1003 − 996 = 7. Tyhjälle lukusuoralle piirretyt hypyt auttavat näkemään, mitä laskussa tapahtuu. Lisää keinoja on oppaassa päässälaskun strategiat ja aihesivulla päässälasku.
5. Allekkain laskeminen ja muistinumero
Kun luvut kasvavat satoihin, yleensä 3. luokalla, mukaan tulee allekkain laskeminen. Ensin laskua havainnollistetaan kymmenjärjestelmävälineillä ja paikka-arvotaulukolla (sadat, kymmenet, ykköset), sitten se kirjoitetaan ruutuvihkoon niin, että jokainen numero saa oman ruutunsa. Tärkeintä on, että numerot ovat oikeissa sarakkeissa: ykköset ykkösten alle, kymmenet kymmenten alle ja sadat satojen alle. Laskeminen aloitetaan aina oikealta, ykkösistä.
Ääneen sanottuna lasku menee näin: ”7 + 5 = 12. Kirjoitan 2 ja 1 muistiin. 4 + 8 = 12, ja muistinumeron kanssa 13. Kirjoitan 3 ja 1 muistiin. 3 + 2 + 1 = 6.” Tulos on 632. Muistinumero kertoo, että sarakkeen summa oli 10 tai enemmän: kymmenen ykköstä on yksi kymppi, joka siirtyy kymmenten sarakkeeseen, ja kymmenen kymppiä on yksi sata.
6. Vähennyslasku allekkain: lainaaminen
Kun sarakkeen ylempi numero on pienempi kuin alempi, vähennys ”ei mene”. Silloin lainataan vasemmalla puolella olevasta sarakkeesta: ylempään numeroon lisätään 10, ja numero, josta lainattiin, pienenee yhdellä.
”2 − 8 ei mene, joten lainataan kymppi: 12 − 8 = 4. Kolmosesta on lainattu, joten siinä on enää 2. 2 − 7 ei mene, lainataan: 12 − 7 = 5. Vitosesta on lainattu, joten siinä on 4. 4 − 1 = 3.” Tulos on 354, ja tarkistus yhteenlaskulla näyttää, että se on oikein: 354 + 178 = 532.
Koulut merkitsevät lainaamisen eri tavoin. Joissakin kirjoissa sen numeron päälle, josta on lainattu, piirretään piste, toisissa numero vedetään yli ja sen yläpuolelle kirjoitetaan yhtä pienempi luku. Molemmat ajavat saman asian. Katso lapsen kirjasta tai vihosta, miten hänen luokallaan tehdään, ennen kuin näytät oman tapasi: jos kotona ja koulussa lasketaan eri tavalla, merkinnät menevät helposti sekaisin.
7. Desimaaliluvut: pilkku pilkun alle
4. luokalla allekkain lasketaan myös desimaalilukuja. Sääntö on yksi: pilkku pilkun alle, jolloin kymmenesosat tulevat kymmenesosien alle ja sadasosat sadasosien alle. Tyhjän paikan voi täyttää nollalla. Esimerkiksi 4,5 + 1,25 kirjoitetaan muotoon 4,50 + 1,25, ja summa on 5,75. Raha on tähän luonteva harjoitus: 10,00 € − 7,45 € = 2,55 €.
Kysy ennen jokaista allekkain laskua, paljonko suunnilleen tulee. Laskussa 347 + 285 pyöristys antaa 350 + 290 = 640, joten 632 näyttää järkevältä ja 522 on selvästi liian vähän. Pyydä lasta myös näyttämään matikan kirjasta, miten luokassa lasketaan: muistinumeron paikka ja lainaamisen merkintä vaihtelevat kirjoittain, ja lapsi pysyy parhaiten kärryillä, kun kotona tehdään samalla tavalla kuin koulussa.
Yleisiä virheitä
- Pienempi numero isommasta joka sarakkeessa: laskusta 532 − 178 tulee 446, koska 8 − 2 tuntuu mukavammalta kuin lainaaminen. Joka sarakkeessa vähennetään aina alempi numero ylemmästä.
- Muistinumero unohtuu: laskusta 347 + 285 tulee 522, koska muistinumeroita ei laskettu mukaan.
- Numero, josta lainattiin, ei pienene: laskussa 52 − 18 lapsi laskee oikein 12 − 8 = 4, mutta sitten 5 − 1 = 4, ja tulokseksi tulee 44. Vitosesta lainattiin, joten kymmenissä lasketaan 4 − 1 = 3, ja oikea vastaus on 34. Piste tai yliviivaus on juuri tätä varten.
- Numerot allekkain vasemmasta reunasta: jos laskussa 245 + 32 kolmonen kirjoitetaan kakkosen alle, tulokseksi tulee 565 eikä 277.
- Lainaaminen nollan yli: laskussa 403 − 158 kymmenten paikalla on nolla, josta ei voi lainata. Silloin lainataan ensin sadoista: satoja jää 3 ja kymmeniä on 10. Niistä lainataan yksi ykkösille, joten kymmeniä jää 9 ja ykkösiä on 13. Sitten 13 − 8 = 5, 9 − 5 = 4 ja 3 − 1 = 2. Tulos on 245. Oppikirjat näyttävät tämän ensin välineillä.
- Aloitusluku lasketaan mukaan: laskussa 7 + 2 lapsi laskee sormillaan ”seitsemän, kahdeksan” ja vastaa 8. Seitsemästä lähdetään kaksi askelta eteenpäin: ”kahdeksan, yhdeksän”.
Viiden minuutin pelejä kotiin
- Kymppiparit korteilla. Ota korttipakasta ässät (1) ja kortit 2–9 ja levitä ne pöydälle kuvapuoli ylöspäin. Vuorotellen etsitään kaksi korttia, jotka ovat yhteensä 10, ja löytäjä saa pitää parin.
- Kymppiparipingis. Sinä sanot 7, lapsi vastaa 3. Isompien kanssa pelataan 20:een tai 100:aan: sinä sanot 35, lapsi vastaa 65.
- Noppakisa sataan. Heittäkää kahta noppaa, laskekaa silmäluvut yhteen ja lisätkää ne edelliseen summaan. Ensimmäisenä sataan päässyt voittaa. Vähennyslaskuversiossa aloitetaan sadasta ja mennään kohti nollaa.
- Kauppaleikki ja vaihtorahat. Leikkikää kauppaa oikeilla kolikoilla tai laskekaa kahvilassa yhdessä: ”Pulla maksaa 2,50 € ja maksan viiden euron setelillä. Paljonko saan takaisin?” (2,50 €.) Kirpputorilla lapsi pääsee itse laskemaan, paljonko vanhoista leluista kertyi rahaa.
- Rekisterikilpipeli. Automatkalla lasketaan yhteen rekisterikilpien numerot. Kuka löytää kilven, jonka numerot ovat yhteensä 10? Entä 15?
Indien haasteMehiläinen Indie vieraili aamupäivällä 256 kukassa ja iltapäivällä 178 kukassa. Monessako kukassa hän vieraili yhteensä? Kuinka monessa kukassa enemmän hän vieraili aamupäivällä kuin iltapäivällä? Näytä vastaus
Yhteensä: 256 + 178 = 434. Allekkain: 6 + 8 = 14, kirjoitetaan 4 ja 1 muistiin. 5 + 7 = 12, ja muistinumeron kanssa 13, kirjoitetaan 3 ja 1 muistiin. 2 + 1 + 1 = 4. Erotus: 256 − 178 = 78. Eteenpäin lisäämällä: 178:sta 200:aan on 22 ja 200:sta 256:een 56, ja 22 + 56 = 78. Tarkistus: 78 + 178 = 256.
Ilmaiset tehtävämonisteet yhteen- ja vähennyslaskuun
Tulosta monisteet harjoitteluun kotona tai koulussa. Jokaisen monisteen toisella sivulla ovat vastaukset.
KymppiparitEsiopetus, 1. luokka · Mitkä kaksi lukua tekevät yhdessä 10?Lataa PDF
Luvun 20 hajotelmat1. luokka · Lukuparit, joiden summa on 20Lataa PDF
Plus- ja miinuslaskut 20:een asti1. luokka, 2. luokka · Sekaisin yhteen- ja vähennyslaskuja lukualueella 0–20Lataa PDF
Yhteenlasku allekkain3. luokka, 4. luokka · Kolminumeroiset luvut, muistinumeron kanssaLataa PDF
Vähennyslasku allekkain3. luokka, 4. luokka · Kolminumeroiset luvut, lainaamisen kanssaLataa PDFLyhyet vastaukset
Allekkain laskiessa pieni numero, joka kirjoitetaan seuraavan sarakkeen yläpuolelle, kun sarakkeen summa on 10 tai enemmän. Laskussa 7 + 5 = 12 ykkösiin kirjoitetaan 2, ja yksi kymppi siirtyy muistinumerona kymmenten sarakkeeseen, jossa se lasketaan mukaan.
Vähennyslaskussa otetaan viereisestä sarakkeesta yksi kymppi (tai sata), kun ylempi numero on liian pieni. Luku itse ei muutu: 3 kymppiä ja 2 ykköstä on sama kuin 2 kymppiä ja 12 ykköstä, eli 32.
Yleensä 3. luokalla, kun lukualue laajenee tuhanteen. 4.–6. luokalla luvut kasvavat ja mukaan tulevat desimaaliluvut. Tarkka ajoitus riippuu koulun opetussuunnitelmasta ja oppikirjasta.
Vähennyslaskun tulos eli kahden luvun ero: kuinka paljon pienempään lukuun pitää lisätä, jotta päästään suurempaan. Lukujen 9 ja 6 erotus on 3. Sen voi laskea vähentämällä (9 − 6) tai lisäämällä eteenpäin kuudesta yhdeksään.
Saa, varsinkin opettelun alussa. Sormet auttavat näkemään, miten luvut muodostuvat. Ajan mittaan tavoitteena on, että kymppiparit, hajotelmat ja tuplat muistetaan ulkoa eikä niitä tarvitse enää laskea.
Harjoittele Indien kanssa
Beequation Kids tekee peruslaskuista kennopulmia, ja mehiläinen Indie antaa vihjeen, kun lapsi jää jumiin. Ei mainoksia eikä tietojen keruuta.