Beequation
Opi › Aiheet › Luvut ja kymmenjärjestelmä
Aiheopas
Luvut ja kymmenjärjestelmä
Lukumäärää laskiessa lukusanat sanotaan oikeassa järjestyksessä, yksi lukusana jokaista laskettavaa esinettä kohti. Kymmenjärjestelmä taas perustuu paikka-arvoon: numero on eri arvoinen sen mukaan, millä paikalla se luvussa on. Luvussa 333 on kolme kolmosta, mutta jokainen tarkoittaa eri asiaa: 3 sataa, 3 kymmentä ja 3 ykköstä. Lähes kaikki, mitä alakoulun matematiikassa myöhemmin tehdään (allekkain laskeminen, kertotaulut, desimaaliluvut), nojaa näihin kahteen ajatukseen.
Mitä millä luokalla opitaan
Valtakunnallinen opetussuunnitelma, Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet 2014, antaa matematiikan sisällöt kahtena kokonaisuutena: yhdet 1.–2. luokalle ja toiset 3.–6. luokalle. Esiopetuksella on omat perusteensa. Tarkka jako vuosiluokille vaihtelee kunnan opetussuunnitelman ja oppikirjan mukaan, joten taulukko kertoo, mitä kullakin luokalla yleensä tehdään.
| Luokka | Mitä opitaan |
|---|---|
| Esiopetus | Havainnoidaan lukumääriä ympäristöstä ja yhdistetään ne lukusanaan ja numeromerkkiin. Harjoitellaan lukujonon luettelemista eteen- ja taaksepäin. Vertaillaan: enemmän, vähemmän, yhtä monta. Usein esineitä lasketaan kymmeneen ja lukujonoa luetellaan pidemmälle, ja numerot 0–9 tulevat tutuiksi. Kokeita ei ole. |
| 1. luokka | Lukualue 0–20, joissakin kouluissa keväällä jo 0–100. Lukumäärän, lukusanan ja numeromerkin yhteys. Lukujen vertailu merkeillä <, > ja =. Lukujen 1–10 hajotelmat. Parilliset ja parittomat luvut. |
| 2. luokka | Lukualue 0–100: kymmenet ja ykköset (47 on 4 kymmentä ja 7 ykköstä). Lukusuora ja satataulu. Lukujono kahden, viiden ja kymmenen välein, mikä pohjustaa kertotauluja. |
| 3. luokka | Lukualue 0–1000 (joissakin kouluissa jo 0–10 000): sadat, kymmenet ja ykköset. Lukujen vertailu ja järjestäminen. Pyöristäminen lähimpään kymmeneen ja sataan. |
| 4. luokka | Lukualue 0–10 000, joissakin kouluissa 0–100 000: tuhannet ja kymmenettuhannet. Pyöristäminen arjen tilanteissa. Negatiiviset luvut tulevat tutuiksi lämpömittarista. |
| 5. luokka | Lukualue miljoonaan asti. Isojen lukujen lukeminen, kirjoittaminen ja vertailu. Pyöristäminen ja likiarvot, joilla arvioidaan tuloksen suuruusluokkaa. |
| 6. luokka | Miljoonat ja miljardit. Negatiiviset luvut myös laskuissa. Pyöristäminen sopivaan tarkkuuteen. |
Tärkeimmät ideat
1. Laskeminen on enemmän kuin lukujonon luettelemista
Lapsi voi luetella ”yksi, kaksi, kolme…” kauan ennen kuin hän osaa laskea lukumäärän. Oikeassa laskemisessa jokaiseen esineeseen osoitetaan kerran, viimeinen sanottu lukusana kertoo, kuinka monta esinettä on, ja vastaus pysyy samana, vaikka järjestys vaihtuisi. Esiopetuksen perusteissa korostetaan juuri lukujonotaitoja: lukujonon luettelemista eteen- ja taaksepäin ja myöhemmin mistä tahansa luvusta alkaen. Laskekaa yhdessä portaita, nappeja tai makaroneja, ja kysy lopuksi: ”Kuinka monta niitä siis on?” Jos lapsi vastaa laskemalla kaiken uudestaan alusta, hän ei vielä ole oivaltanut, että viimeinen lukusana kertoo määrän.
2. Luku ja numero: paikka ratkaisee arvon
Koulussa erotetaan kaksi sanaa, jotka arkikielessä menevät usein sekaisin. Numerot ovat kymmenen merkkiä 0–9. Luvut kirjoitetaan numeroilla samaan tapaan kuin sanat kirjaimilla: 352 on kolminumeroinen luku. Jokaisen paikan arvo on kymmenkertainen sen oikealla puolella olevaan paikkaan verrattuna: 10 ykköstä on 1 kymmen, 10 kymmentä on 1 sata ja 10 sataa on 1 tuhat. Siksi puhutaan kymmenjärjestelmästä.
Luvun voi hajottaa osiin monella tavalla. Tavallisin on jakaa se paikkojen mukaan: 3482 = 3000 + 400 + 80 + 2. Yhtä oikein on 3482 = 3000 + 300 + 182, ja juuri tällaista ajattelua tarvitaan myöhemmin, kun vähennyslaskussa lainataan. Tehtävät kannattaa lukea tarkasti: kysytäänkö numeroa vai kokonaisten kymmenten määrää? Luvussa 352 kymmenten numero on 5 (sen arvo on 50), mutta kokonaisia kymmeniä luvussa on 35, koska 350 on 35 kymmenen ryhmää.
Myös nolla on tärkeä. Luvussa 405 nolla kertoo, ettei kymmeniä ole, ja pitää nelosen satojen paikalla. Ilman sitä 405 muuttuisi luvuksi 45.
Kymmenjärjestelmä aukeaa parhaiten käsillä tekemällä. Niputtakaa tikkuja tai pillejä kuminauhalla kymmenen tikun nippuihin ja kymmenen nippua yhdeksi sadan tikun nipuksi. Kun lapsi vaihtaa kymmenen irtotikkua yhteen nippuun, hän tekee saman asian, jonka hän myöhemmin tekee allekkain laskiessaan ja sanoessaan ”yksi muistiin”. Kysy luokanopettajalta, mitä välineitä luokassa käytetään, ja käytä samoja kotona.
3. Vertailu ja järjestys: lukusuora ja satataulu
Lukusuoraa käytetään jo pienillä luvuilla, ja kun lukualue kasvaa sataan, mukaan tulee usein satataulu. Satataulussa luvut 1–100 ovat kymmenen luvun riveissä. Siitä näkee, että yksi ruutu oikealle tarkoittaa yhtä enemmän ja yksi rivi alaspäin kymmentä enemmän.
Kun kahta lukua verrataan, ne voi kirjoittaa allekkain ja katsoa ensin suurimman paikan numeroita. Luvuissa 5309 ja 5290 on molemmissa 5 tuhatta, mutta luvussa 5309 on 3 sataa ja luvussa 5290 vain 2, joten 5309 > 5290. Merkit < (pienempi kuin) ja > (suurempi kuin) opitaan yleensä jo 1. luokalla. Muistisääntö auttaa: merkin kärki osoittaa pienempää lukua ja avoin puoli suurempaa.
4. Isot luvut ja pyöristäminen
5.–6. luokalla luvut kasvavat miljooniin ja miljardeihin. Tuhansien jälkeen tulevat kymmenettuhannet, sadattuhannet ja miljoonat. Isoissa luvuissa numerot ryhmitellään oikealta alkaen kolmen numeron ryhmiin, ja ryhmien väliin jätetään pieni väli: 25 000, 1 000 000. Nelinumeroiset luvut kirjoitetaan yleensä ilman väliä (3482), eikä vuosilukuihin tule koskaan väliä (2026). Luku 4 072 519 luetaan ”neljä miljoonaa seitsemänkymmentäkaksituhatta viisisataayhdeksäntoista”. Ryhmittelyyn ei käytetä pilkkua, koska Suomessa pilkku on desimaalipilkku: 4,072 on vähän yli neljä.
Miljardi on tuhat miljoonaa eli 1 000 000 000. Englanninkielinen billion tarkoittaa miljardia, kun taas suomen biljoona on miljoona miljoonaa, 1 000 000 000 000.
Pyöristäminen tarkoittaa lähimmän ”tasaisen” luvun etsimistä. Katso numeroa, joka on heti sen paikan oikealla puolella, johon pyöristät. Jos se on 0–4, pyöristetään alaspäin, ja jos se on 5–9, ylöspäin. Luku 3482 on lähimpään kymmeneen pyöristettynä 3480, lähimpään sataan 3500 ja lähimpään tuhanteen 3000. Pyöristetty luku on likiarvo, ja sen merkki on ≈ (luetaan ”on likimain”): 3482 ≈ 3500.
5. Lukuja on myös nollan alapuolella
Negatiiviset luvut ovat nollaa pienempiä lukuja. Valtakunnallisen opetussuunnitelman mukaan negatiivisen luvun käsitettä pohjustetaan 3.–6. luokalla. Usein negatiiviset luvut tulevat tutuiksi lämpömittarista 4. luokalla, ja 6. luokalla niillä myös lasketaan. Suomalainen talvi auttaa: moni lapsi tietää jo ennen koulua, mitä ”kymmenen astetta pakkasta” tarkoittaa. Kerro, että −10 °C ja kymmenen astetta pakkasta ovat sama asia, ja näytä lämpömittarista, että mitä alempana luku on, sitä pienempi se on.
6. Parilliset, parittomat ja lukujonot
Jo 1.–2. luokalla tutkitaan lukujen ominaisuuksia. Parillisen luvun voi jakaa tasan kahteen yhtä suureen osaan, ja sen viimeinen numero on 0, 2, 4, 6 tai 8. Pariton luku päättyy numeroon 1, 3, 5, 7 tai 9. Kun lukujonoa luetellaan kahden, viiden tai kymmenen välein (2, 4, 6, 8…; 5, 10, 15, 20…), lapsi luettelee samalla lukujen 2, 5 ja 10 monikertoja, ja 2:n, 5:n ja 10:n kertotaulut ovat jo puoliksi tuttuja. Myöhemmin lukujonoja jatketaan myös taaksepäin ja isommin askelin, esimerkiksi sadan tai tuhannen välein.
Yleisiä virheitä
- Luvut 11–19 kääntyvät: neljätoista kirjoitetaan 41, koska ”neljä” kuuluu ensin. Sana ”toista” viittaa toiseen kymmeneen, joten neljätoista on 1 kymmen ja 4 ykköstä.
- Luku kirjoitetaan niin kuin se kuulostaa: ”kolmesataaneljä” kirjoitetaan 3004 eikä 304, tai ”tuhatkaksikymmentä” 100020 eikä 1020.
- Nolla unohtuu: 45, kun tarkoitetaan lukua 405 (neljäsataaviisi), tai 507, kun tarkoitetaan lukua 5007 (viisituhatta seitsemän).
- Väärä ryhmittely: iso luku kirjoitetaan pilkuilla tai pisteillä (4,072,519), kuten joissakin englanninkielisissä peleissä ja videoissa. Suomessa ryhmien väliin tulee väli: 4 072 519.
- Pyöristys muuttaa liikaa tai liian vähän: 3482 pyöristetään lähimpään sataan ja kirjoitetaan 3582, tai nollat jätetään pois ja kirjoitetaan 35. Kaikki pyöristettävän paikan oikealla puolella olevat numerot muuttuvat nolliksi.
- Negatiivisten lukujen suuruus: lapsi luulee, että −8 on suurempi kuin −3, koska 8 on suurempi kuin 3. Lukusuoralla −8 on kauempana vasemmalla, joten se on pienempi. Kahdeksan astetta pakkasta on kylmempää kuin kolme astetta pakkasta.
Viiden minuutin pelejä kotiin
- Portaiden laskeminen. Laskekaa portaat ylös ja alas mennessä. Isommat lapset voivat laskea kahden, viiden tai kymmenen välein tai aloittaa luvusta 37 ja laskea taaksepäin.
- Suurin luku voittaa. Jokainen nostaa neljä numerokorttia (tai heittää noppaa neljä kertaa) ja muodostaa niistä mahdollisimman suuren luvun. Numeroista 7, 2, 9 ja 4 saa suurimman luvun 9742 ja pienimmän luvun 2479.
- Arvaa lukuni. Ajattele jotakin lukua väliltä 1–100 (tai 1–1000). Lapsi arvaa, ja sinä vastaat ”suurempi” tai ”pienempi”, kunnes luku löytyy.
- Talonumerot. Kävelyllä huomaatte, että kadun toisella puolella talonumerot ovat yleensä parillisia ja toisella parittomia. Mikä numero on seuraavassa talossa? Samalla puolella numerot kasvavat yleensä kahden välein.
- Pakkasvahti. Katsokaa talvella sääennustetta tai ikkunan lämpömittaria. Kuinka monta astetta 4 °C on lämpimämpi kuin −2 °C? (6 astetta.) Jos aamulla on −12 °C ja iltapäivällä −4 °C, paljonko lämpötila nousi? (8 astetta.)
Indien haasteIndien pesässä on 4705 mehiläistä. Kesällä pesään tulee 300 uutta mehiläistä. Montako mehiläistä pesässä nyt on, ja paljonko se on lähimpään tuhanteen pyöristettynä? Näytä vastaus
4705 + 300 = 5005. 7 sataa ja 3 sataa ovat yhteensä 10 sataa, ja ne vaihdetaan yhdeksi tuhanneksi. Satojen paikalle jää siis nolla. Luku luetaan ”viisituhatta viisi”. Lähimpään tuhanteen pyöristettynä 5005 on 5000, koska satojen numero on 0 ja pyöristetään alaspäin.
Ilmaiset tehtävämonisteet: luvut ja kymmenjärjestelmä
Tulosta monisteet harjoitteluun kotona tai luokassa. Jokaisen monisteen toisella sivulla ovat vastaukset.
Lukujonot 100:aan asti1. luokka, 2. luokka · Yhden, kahden, viiden ja kymmenen väleinLataa PDF
Kymmenet ja ykköset1. luokka, 2. luokka · Kaksinumeroiset luvut osiinLataa PDF
Sadat, kymmenet ja ykköset3. luokka · Kymmenjärjestelmä lukualueella 0–1000Lataa PDF
Pyöristäminen4. luokka, 5. luokka · Kymmeniin, satoihin ja tuhansiinLataa PDFLyhyet vastaukset
Paikka-arvo on se arvo, joka numerolla on sen paikan vuoksi. Luvussa 352 numero 5 on kymmenten paikalla, joten se tarkoittaa 50:tä eikä viittä.
Numerot ovat kymmenen merkkiä 0–9. Luvut kirjoitetaan numeroilla samaan tapaan kuin sanat kirjaimilla. 352 on yksi luku, ja siinä on kolme numeroa. Arkikielessä puhutaan puhelinnumerosta ja talonumerosta, mutta matematiikan tunnilla sanat erotetaan.
Viitoseen päättyvä luku, esimerkiksi 65, on täsmälleen lukujen 60 ja 70 puolivälissä. Koulussa sovitaan, että tällainen luku pyöristetään ylöspäin, joten 65 on lähimpään kymmeneen pyöristettynä 70.
Valtakunnallisen opetussuunnitelman mukaan niiden käsitettä pohjustetaan 3.–6. luokalla. Usein ne tulevat tutuiksi lämpömittarista 4. luokalla, ja 6. luokalla niillä lasketaan.
Ei ole. Miljardi on tuhat miljoonaa (1 000 000 000), ja biljoona on miljoona miljoonaa (1 000 000 000 000). Englanninkielisen sanan billion suomenkielinen vastine on miljardi.
Harjoittele Indien kanssa
Beequation Kids tekee peruslaskuista kennopulmia, ja mehiläinen Indie antaa vihjeen, kun lapsi jää jumiin. Ei mainoksia eikä tietojen keruuta.