Beequation
Aiheopas
Murtoluvut
Murtoluku kertoo, kuinka suuri osa kokonaisuudesta on kyseessä, kun kokonainen on jaettu yhtä suuriin osiin. Murtoviivan alapuolella oleva luku, nimittäjä, kertoo, moneenko yhtä suureen osaan kokonainen on jaettu. Murtoviivan yläpuolella oleva luku, osoittaja, kertoo, montako tällaista osaa otetaan. Sanat auttavat muistamaan: nimittäjä antaa osille nimen (neljäsosat, kahdeksasosat), ja osoittaja osoittaa, montako osaa on.
Mitä millä luokalla opitaan
Valtakunnallinen opetussuunnitelma, Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet 2014, kuvaa matematiikan sisällöt kahdelle vuosiluokkakokonaisuudelle. Vuosiluokilla 1–2 murtolukua vasta valmistellaan: ”Pohjustetaan murtoluvun käsitettä jakamalla kokonainen yhtä suuriin osiin.” Vuosiluokilla 3–6 opitaan murtoluvun käsite ja harjoitellaan murtolukujen peruslaskutoimituksia. Kerto- ja jakolaskussa pitäydytään luonnollisissa luvuissa: murtoluku kerrotaan tai jaetaan esimerkiksi 2:lla tai 3:lla, ei toisella murtoluvulla. Tarkka jako vuosiluokille vaihtelee kunnan opetussuunnitelman ja oppikirjan mukaan, joten taulukko kertoo, mitä kullakin luokalla yleensä tehdään.
| Luokka | Mitä opitaan |
|---|---|
| Esiopetus | Jaetaan reilusti leikeissä ja arjessa (”yksi sinulle, yksi minulle”) ja puolitetaan omenoita, leipiä ja muovailuvahaa. Murtolukuja ei vielä kirjoiteta. |
| 1. luokka | Puolittaminen: puolet kahdeksasta on neljä. Parilliset luvut, jotka voi jakaa tasan kahtia. Kokonainen ja puolikas arjessa ja kellossa (puoli tuntia). |
| 2. luokka | Kokonaisen jakaminen yhtä suuriin osiin: esimerkiksi puolikkaat ja neljäsosat kuvioista, pizzasta ja paperiarkista. Usein myös ensimmäiset merkinnät, kuten ½ ja ¼. Vartti on neljäsosa tunnista (varttia yli, varttia vaille). |
| 3. luokka | Murtoluvun käsite: osoittaja, nimittäjä ja murtoviiva, murtolukujen lukeminen, kirjoittaminen ja piirtäminen. Kymmenesosat ja sadasosat, jotka liittyvät desimaalilukuihin (⅒ = 0,1). Sekaluvut, kuten 2 ½. |
| 4. luokka | Samannimisten murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku (⅖ + ⅕ = ⅗) ja laventaminen (½ = ²⁄₄ = ⁴⁄₈). Murtoluvut ja desimaaliluvut tuhannesosiin asti. Monissa kirjoissa myös murtoluvun osuus lukumäärästä: ¾ luvusta 20 on 15. |
| 5. luokka | Supistaminen (⁶⁄₈ = ¾), epämurtolukujen muuttaminen sekaluvuiksi (⁷⁄₄ = 1 ¾) ja murtoluvun kertominen luonnollisella luvulla (⅖ · 3 = ⁶⁄₅ = 1 ⅕). Murtoluvun, desimaaliluvun ja prosentin yhteys (¼ = 0,25 = 25 %). |
| 6. luokka | Erinimiset murtoluvut, jotka lavennetaan samannimisiksi ennen yhteen- tai vähennyslaskua (½ + ⅓ = ³⁄₆ + ²⁄₆ = ⁵⁄₆). Murtoluvun kertominen ja jakaminen luonnollisella luvulla (⅔ : 2 = ⅓). Murtoluvut, desimaaliluvut ja prosentit rinnakkain. |
Miten murtoluvut luetaan
Murtoluvun nimi tulee nimittäjästä: järjestysluvun perään lisätään -osa. Kolmas → kolmasosa, neljäs → neljäsosa, viides → viidesosa, kymmenes → kymmenesosa ja sadas → sadasosa. Poikkeus on ½, joka on puoli tai yksi kahdesosa. Neljäsosaa sanotaan myös neljännekseksi. Kun osia on useampi, nimi taipuu: ⅔ on ”kaksi kolmasosaa”, ¾ ”kolme neljäsosaa” ja ⅝ ”viisi kahdeksasosaa”.
Sekaluku 2 ½ luetaan ”kaksi ja puoli” tai koulussa ”kaksi kokonaista ja yksi kahdesosa”, ja 1 ⅔ on ”yksi kokonainen ja kaksi kolmasosaa”. Epämurtoluvussa osoittaja on yhtä suuri tai suurempi kuin nimittäjä, kuten ⁷⁄₄ (seitsemän neljäsosaa).
Arjessa kuulee kolme samannäköistä sanaa. Puoli on murtoluku (puoli kakkua, puoli litraa), puolikas on pala (”saanko puolikkaan?”) ja puolet kertoo määrästä (puolet kahdeksasta on neljä).
Tärkeimmät ideat
1. Osien on oltava yhtä suuria
Lapset kutsuvat helposti mitä tahansa palaa puolikkaaksi, ja kotona kuulee usein: ”Minä otan isomman puolikkaan!” Taittele paperia, leikkaa voileipiä ja jaa karkkeja, ja kysy aina: ”Ovatko kaikki palat yhtä suuria?” Jos pizza leikataan kahteen erikokoiseen palaan, sitä ei ole jaettu puolikkaisiin.
2. Murtoluku voi olla osa kuviosta tai osa joukosta
Puolikas pizza ja puolet kahdeksasta karkista ovat sama ajatus. Kun lasketaan murtoluvun osuutta lukumäärästä, sääntö kuuluu koulussa usein näin: jaa nimittäjällä ja kerro osoittajalla. Esimerkiksi ¾ luvusta 12: 12 : 4 = 3 ja 3 · 3 = 9. Kuvasta näkee, miksi näin on:
3. Mitä suurempi nimittäjä, sitä pienemmät palat
Moni lapsi ajattelee, että ⅛ on enemmän kuin ¼, koska 8 on enemmän kuin 4. Näytä se oikealla esimerkillä: kun syntymäpäivien täytekakku jaetaan kahdeksalle, jokainen saa pienemmän palan kuin jos sama kakku jaettaisiin neljälle. Kirjoissa asia kerrotaan kahtena sääntönä. Kun nimittäjät ovat samat, suurempi on se, jonka osoittaja on suurempi (⅗ > ⅖). Kun osoittajat ovat samat, suurempi on se, jonka nimittäjä on pienempi (¼ > ⅛).
4. Eri murtoluvut voivat olla yhtä suuria
Tällaiset murtoluvut ovat samanarvoisia. Kun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla, murtoluku lavennetaan: ½ = ²⁄₄ = ³⁄₆. Kun molemmat jaetaan samalla luvulla, murtoluku supistetaan: ⁶⁄₈ = ¾ (supistettu kahdella). Lavennettaessa palat pienenevät ja niitä tulee enemmän, supistettaessa päinvastoin, mutta määrä pysyy samana. Vastaus kirjoitetaan yleensä mahdollisimman pitkälle supistettuna. Monissa kirjoissa laventaja merkitään pienenä murtoluvun vasempaan yläkulmaan, esimerkiksi ³⁾⅔ = ⁶⁄₉.
Kun murtolukuja lasketaan yhteen, nimittäjiä ei koskaan lasketa yhteen. ¼ + ¼ on kaksi neljäsosaa eli ²⁄₄ (sama kuin ½), ei ²⁄₈. Auttaa, kun lapsi sanoo laskun ääneen: ”yksi neljäsosa ja yksi neljäsosa on kaksi neljäsosaa”, samalla tavalla kuin ”yksi omena ja yksi omena on kaksi omenaa”. Nimittäjä on palojen nimi, ja nimi pysyy samana.
5. Yhteen- ja vähennyslaskussa palojen on oltava samankokoisia
Murtoluvut, joilla on sama nimittäjä, ovat samannimisiä: niiden paloilla on sama nimi, esimerkiksi viidesosat. Niitä laskettaessa osoittajat lasketaan yhteen tai vähennetään, ja nimittäjä pysyy samana: ⅗ + ⅕ = ⅘ ja ⅘ − ⅕ = ⅗. Erinimiset murtoluvut lavennetaan ensin samannimisiksi. Kun lasketaan ½ + ⅓, molemmat muutetaan kuudesosiksi: ³⁄₆ + ²⁄₆ = ⁵⁄₆. Jos summa on yli yhden, sen voi kirjoittaa sekalukuna: ¾ + ½ = ¾ + ²⁄₄ = ⁵⁄₄ = 1 ¼.
Kun murtoluku kerrotaan luonnollisella luvulla, kerrotaan vain osoittaja: ⅖ · 3 = ⁶⁄₅ = 1 ⅕, aivan kuten ⅖ + ⅖ + ⅖. Jakaminen luonnollisella luvulla on reilua jakamista: kun ⅘ pizzasta jaetaan kahdelle, kumpikin saa ⅖. Jos osoittaja ei jakaudu tasan, nimittäjä kerrotaan jakajalla: ⅓ : 2 = ⅙.
6. Murtoluku, desimaaliluku ja prosentti ovat saman määrän eri nimiä
Murtoluku on myös jakolasku: ¾ on 3 : 4 eli 0,75. Siksi ½ = 0,5 = 50 %, ¼ = 0,25 = 25 %, ¾ = 0,75 = 75 % ja ⅒ = 0,1 = 10 %. Arjessa murtolukuja on kaikkialla: vartti on ¼ tunnista eli 15 minuuttia, desilitra on ⅒ litrasta ja puolen litran pullossa on 0,5 l. Yhteyttä jatketaan oppaassa desimaaliluvut ja prosentit.
Yleisiä virheitä
- Erikokoiset osat: isompaa palaa kutsutaan puolikkaaksi.
- Suurempi nimittäjä, suurempi murtoluku: ajatellaan, että ⅛ > ¼.
- Nimittäjät lasketaan yhteen: ⅓ + ⅓ = ²⁄₆, vaikka oikea vastaus on ⅔.
- Lavennettaessa kerrotaan vain toinen luku: ½ lavennetaan kolmella ja kirjoitetaan ³⁄₂. Osoittaja ja nimittäjä kerrotaan aina samalla luvulla: ½ = ³⁄₆.
- Kertolaskussa kerrotaan myös nimittäjä: ⅖ · 3 = ⁶⁄₁₅. Kolme kertaa kaksi viidesosaa on kuusi viidesosaa eli ⁶⁄₅.
- Sääntö väärin päin: ¾ luvusta 12 lasketaan näin: 12 : 3 = 4 ja 4 · 4 = 16. Vihje: ¾ jostakin ei voi koskaan olla enemmän kuin se itse.
- Kokonainen unohtuu: puolet isosta pizzasta on enemmän kuin puolet pienestä. Murtoluku on aina osa jostakin.
Viiden minuutin murtolukupelejä kotiin
- Reilu jako välipalalla. ”Jaetaan nämä 12 viinirypälettä reilusti meidän kolmen kesken. Montako kukin saa, ja mikä osa se on kaikista?” (4 kullekin eli kolmasosa.)
- Taittele ja nimeä. Taittele paperiarkki kahtia ja sitten uudelleen kahtia. Montako osaa nyt on? Mikä on yhden osan nimi? Jatkakaa kahdeksasosiin asti.
- Pullapelti. Kun pullat tulevat uunista, laskekaa ne yhdessä. ”Pellillä on 20 pullaa. Jos syömme heti neljäsosan, montako jää pakastimeen?” (Neljäsosa on 5, joten jäljelle jää 15 eli ¾.)
- Kakku tai pizza. Leikatkaa kakku tai pizza, oikea tai paperinen, kahdeksaan palaan. Syökää kolme palaa: mikä osa on syöty ja mikä on jäljellä? (⅜ ja ⅝.)
- Matka ja kierros. ”Olemme ajaneet puolet matkasta mökille. Kuinka paljon on vielä jäljellä?” Luistinradalla: ”Jos kierros on 400 metriä, kuinka pitkä on puoli kierrosta? Entä neljäsosa?” (200 m ja 100 m.)
- Kumpi on suurempi? Kirjoita kaksi murtolukua paperilapuille ja päättäkää yhdessä, kumpi on suurempi. Piirtäkää ne tarvittaessa. Kellosta löytyy lisää: vartti, puoli tuntia ja kolme varttia (lue lisää kellonajoista).
Indien haasteIndien kennossa on 18 solua. Hän on täyttänyt hunajalla ⅔ soluista. Montako solua on vielä tyhjänä? Näytä vastaus
⅔ luvusta 18: 18 : 3 = 6 ja 6 · 2 = 12 täytettyä solua. Tyhjänä on 18 − 12 = 6 solua, eli jäljellä oleva ⅓ (18 : 3 = 6).
Ilmaiset murtolukumonisteet
Tulosta monisteet harjoitteluun kotona tai koulussa. Jokaisen monisteen toisella sivulla ovat vastaukset.
Mikä osa on väritetty?3. luokka, 4. luokka · Puolikkaat, kolmasosat, neljäsosat ja muutLataa PDF
Murtoluku luvusta4. luokka, 5. luokka · Esimerkiksi ½ luvusta 12 ja ¾ luvusta 20Lataa PDF
Murtolukujen laventaminen4. luokka, 5. luokka · Samanarvoiset murtoluvut: etsi puuttuva lukuLataa PDFLyhyet vastaukset
Puolittamista ja kokonaisen jakamista yhtä suuriin osiin harjoitellaan jo 1.–2. luokalla, mutta murtoluvun käsite opitaan kunnolla 3.–6. luokalla. Usein 3. luokalla tutustutaan kymmenesosiin, sadasosiin ja sekalukuihin, 4. luokalla lavennetaan ja lasketaan samannimisiä murtolukuja yhteen, 5. luokalla supistetaan ja 6. luokalla lasketaan erinimisillä murtoluvuilla.
Epämurtoluvussa osoittaja on yhtä suuri tai suurempi kuin nimittäjä, kuten ⁷⁄₄. Sen arvo on siis vähintään yksi kokonainen. Saman määrän voi kirjoittaa sekalukuna, jossa on kokonaisosa ja murto-osa: ⁷⁄₄ = 1 ¾, koska neljä neljäsosaa on yksi kokonainen ja jäljelle jää kolme neljäsosaa.
Piirrä kaksi yhtä pitkää palkkia. Jaa toinen puolikkaisiin ja toinen neljäsosiin, ja väritä ½ ja ²⁄₄. Väritetyt osat ovat yhtä pitkiä, joten murtoluvut ovat yhtä suuria.
Ne ovat murtolukuja, joilla on eri nimittäjät, kuten ⅔ ja ¾. Ennen vertailua tai yhteenlaskua ne lavennetaan samannimisiksi. Kolmasosat ja neljäsosat voi muuttaa kahdestoistaosiksi: ⅔ = ⁸⁄₁₂ ja ¾ = ⁹⁄₁₂. Siis ¾ on suurempi, ja ⅔ + ¾ = ¹⁷⁄₁₂ = 1 ⁵⁄₁₂. Tätä harjoitellaan yleensä 6. luokalla.
Valtakunnallisen opetussuunnitelman mukaan 3.–6. luokalla murtoluku kerrotaan ja jaetaan vain luonnollisella luvulla, esimerkiksi ⅖ · 3 = ⁶⁄₅ tai ⅘ : 2 = ⅖. Joissakin kunnissa ja oppikirjoissa 6. luokalla tutustutaan jo murtoluvulla kertomiseen, mutta se ei kuulu valtakunnallisiin sisältöihin.
Beequation Kids -pelissä murtoluvuilla on oma maailmansa, Murtolukumetsä, ja mehiläinen Indie antaa vihjeen, kun lapsi jää jumiin.
Harjoittele Indien kanssa
Beequation Kids tekee peruslaskuista kennopulmia, ja mehiläinen Indie antaa vihjeen, kun lapsi jää jumiin. Ei mainoksia eikä tietojen keruuta.