Beequation
Opi › Aiheet › Kerto- ja jakolasku
Aiheopas
Kerto- ja jakolasku
Kertolasku on nopea tapa laskea yhteen yhtä suuria ryhmiä: 3 · 4 (”kolme kertaa neljä”) tarkoittaa kolmea ryhmää, joissa kussakin on neljä, eli 4 + 4 + 4 = 12. Jakolasku on sen käänteinen laskutoimitus: se jakaa määrän yhtä suuriin osiin. 12 : 3 = 4 luetaan ”kaksitoista jaettuna kolmella on neljä”. Lapset oppivat nämä kaksi rinnakkain: ensin jakamalla tavaroita tasan ja tuplaamalla, sitten harjoittelemalla kertotauluja ja lopuksi laskemalla isoja laskuja allekkain ja jakokulmassa.
Mitä millä luokalla opitaan
Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteissa (2014) matematiikan sisällöt on kirjattu kahtena kokonaisuutena: yksi vuosiluokille 1–2 ja toinen vuosiluokille 3–6 (lisää Opetushallituksen sivulla Matematiikka perusopetuksessa). Taulukossa on se, mitä kullakin luokalla yleensä tehdään. Tarkka jako vuosiluokille vaihtelee kunnan opetussuunnitelman ja oppikirjan mukaan.
| Luokka | Mitä opitaan |
|---|---|
| Esiopetus | Tavaroiden jakaminen tasan leikeissä ja arjen tilanteissa, niin että jokainen saa yhtä monta. Lukumäärien vertailu: enemmän, vähemmän, yhtä monta. |
| 1. luokka | Tuplat ja puolittaminen pienillä luvuilla (luvun 4 tupla on 8). Parilliset ja parittomat luvut. Usein myös lukujonot kahden, viiden ja kymmenen välein. |
| 2. luokka | Kertolaskun käsite välineiden avulla: yhtä suuret ryhmät ja niiden yhteenlasku (3 · 4 = 4 + 4 + 4). Kertotaulut 1–5 ja 10, jotka opetussuunnitelmassa kuuluvat 1.–2. luokalle. Vaihdannaisuus (3 · 4 = 4 · 3) sekä luvut 0 ja 1 kertolaskussa. Jakaminen yhtä suuriin osiin pohjana jakolaskulle. Merkit · ja :. |
| 3. luokka | Kertotaulut 6–9 ja kaikkien kertotaulujen 1–10 varmistaminen. Opetussuunnitelmassa ne kuuluvat 3.–6. luokalle, mutta usein ne opetellaan jo 3. luokalla. Kertolasku allekkain yksinumeroisella kertojalla. Jakolaskun käsite, usein myös ensimmäiset jakojäännökset. |
| 4. luokka | Jakolasku ja jakojäännös, ositusjako ja sisältöjako. Lukuyksiköittäin jakaminen ja usein jakokulma yksinumeroisella jakajalla. Kertotaulujen kertaus ja kertolasku allekkain suuremmilla luvuilla. |
| 5. luokka | Kaikki neljä laskutoimitusta suuremmilla luvuilla, myös kertolasku allekkain moninumeroisella kertojalla. Desimaaliluvun kertominen sekä murtoluvun kertominen luonnollisella luvulla. |
| 6. luokka | Desimaalilukujen kerto- ja jakolasku. Luvun neliö (5 · 5 = 25) ja kuutio (2 · 2 · 2 = 8). Valtakunnallisissa 6. luokan arviointikriteereissä hyvää osaamista (arvosana 8) kuvataan niin, että oppilas ”laskee sujuvasti päässä ja kirjallisesti hyödyntäen laskutoimitusten ominaisuuksia”. |
Tärkeimmät ideat
1. Kertolasku on yhtä suuria ryhmiä, eikä järjestyksellä ole väliä
Kun tavarat asetellaan riveihin, kertolasku näkyy suoraan. Käännä yllä oleva kuva kyljelleen, niin kolmesta neljän pisteen rivistä tulee neljä kolmen pisteen riviä, ja pisteitä on yhä 12. Siksi 3 · 4 = 4 · 3. Tätä kutsutaan vaihdannaisuudeksi, ja se lähes puolittaa opeteltavien laskujen määrän: kun lapsi osaa yhden, hän osaa samalla toisenkin. Laskussa 3 · 4 luvut 3 ja 4 ovat tulon tekijät (kirjoissa myös kerrottava ja kertoja), ja vastaus 12 on tulo.
Kaksi erikoistapausta opitaan jo alkuopetuksessa. Kun luku kerrotaan yhdellä, se ei muutu (7 · 1 = 7). Kun luku kerrotaan nollalla, tulo on nolla (7 · 0 = 0): seitsemässä tyhjässä pussissa ei ole yhtään karkkia. Kahdella kertominen on tuplaamista, ja kahdella jakaminen on puolittamista.
2. Jakolasku on joko ositusjakoa tai sisältöjakoa
Jakolaskun 12 : 3 voi ymmärtää kahdella tavalla, ja opetussuunnitelma mainitsee molemmat nimeltä. Ositusjako: 12 karkkia jaetaan tasan kolmelle lapselle, ja jokainen saa 4. Silloin kysytään, kuinka paljon yhteen osaan tulee. Sisältöjako: 12 karkkia pakataan pusseihin, kolme kuhunkin, ja pusseja tulee 4. Silloin kysytään, montako kertaa 3 mahtuu lukuun 12. Kummassakin vastaus on 4.
Laskussa 12 : 3 luku 12 on jaettava, 3 on jakaja ja vastaus 4 on osamäärä. Koska jakolasku on kertolaskun käänteinen laskutoimitus, nopein tapa ratkaista 56 : 8 on kysyä: mikä luku kertaa 8 on 56? Vastaus on 7.
3. Kertotaulut 1–10
Suomessa kertotaulut opetellaan kymmenen kertotauluun asti, joten suurin lasku on 10 · 10 = 100. Valtakunnallisen opetussuunnitelman mukaan 1.–2. luokalla opetellaan kertotaulut 1–5 ja 10 ja 3.–6. luokalla kertotaulut 6–9. Sen jälkeen varmistetaan, että kaikki kertotaulut 1–10 ovat hallussa. Monissa kouluissa kertotaulut 6–9 opetellaan 3. luokalla. Hokeminen järjestyksessä (”yksi kertaa seitsemän on seitsemän, kaksi kertaa seitsemän on neljätoista…”) auttaa alkuun, mutta lopulta laskut pitää osata myös sekaisin. Ideoita kotiin löydät oppaasta kertotaulujen harjoittelu.
Opeteltavaa on vähemmän kuin miltä näyttää, koska kertotaulut nojaavat toisiinsa. Neljän kertotaulu on kahden kertotaulun tuplat, ja kahdeksan kertotaulu on neljän kertotaulun tuplat. Viiden kertotaulu on puolet kymmenen kertotaulusta: 7 · 5 on puolet luvusta 70 eli 35. Laskun 9 · 7 voi laskea niin, että laskee ensin 10 · 7 ja vähentää siitä yhden seitsemän: 70 − 7 = 63. Yhdeksän kertotaulussa vastauksen numeroiden summa on aina 9: 18, 27, 36, 45…
Viisi minuuttia kertotauluja joka päivä auttaa enemmän kuin tunti kerran viikossa. Valitse kaksi tai kolme laskua, jotka ovat lapsellesi hankalia, esimerkiksi 7 · 8 = 56 ja 6 · 8 = 48, ja palatkaa niihin usein: automatkalla, iltapalalla tai koulumatkalla. Kun lapsi sanoo samalla jakolaskun (56 : 8 = 7), yksi harjoitus opettaa kaksi asiaa.
4. Kertolasku allekkain
Isot kertolaskut lasketaan allekkain ruutuvihkoon, ykköset ykkösten alle, ja aloitetaan oikealta. Kun kertoja on yksinumeroinen, lasku 234 · 3 etenee ääneen sanottuna näin: ”3 kertaa 4 on 12. Kirjoitan 2 ja 1 muistiin. 3 kertaa 3 on 9, ja muistinumeron kanssa 10. Kirjoitan 0 ja 1 muistiin. 3 kertaa 2 on 6, ja muistinumeron kanssa 7.” Tulo on 702.
Kun kertoja on kaksinumeroinen, tehdään kaksi kertolaskua ja lasketaan niiden tulokset yhteen. Laskussa 234 · 23 lasketaan ensin 234 · 3 = 702. Sitten lasketaan 234 · 2 = 468, mutta tämä rivi kirjoitetaan yhtä saraketta vasemmalle, koska luvun 23 kakkonen tarkoittaa kahta kymmentä: oikeasti lasketaan 234 · 20 = 4680. Lopuksi 702 + 4680 = 5382.
5. Jakolasku: ensin lukuyksiköittäin, sitten jakokulmassa
Opetussuunnitelma puhuu lukuyksiköittäin jakamisesta: jaetaan ensin sadat, sitten kymmenet ja lopuksi ykköset, aluksi välineillä tai rahalla. Esimerkiksi neljä kaveria jakaa 96 euroa: yhdeksän kymmenen euron seteliä ja kuusi yhden euron kolikkoa. Jokainen saa ensin kaksi seteliä, ja yksi seteli jää yli. Se vaihdetaan kymmeneksi yhden euron kolikoksi, jolloin kolikoita on 16, ja jokainen saa niistä neljä. Kukin saa siis 24 euroa: 96 : 4 = 24.
Kirjallisesti jakolasku lasketaan jakokulmassa. Jakaja kirjoitetaan pystyviivan vasemmalle puolelle, jaettava vaakaviivan alle ja osamäärä viivan yläpuolelle. Jokainen vaihe kulkee samassa rytmissä: jaa, kerro, vähennä, pudota. Laskussa 857 : 4 se kuulostaa tältä: 8 : 4 = 2, 2 · 4 = 8, 8 − 8 = 0. Pudotetaan 5: 5 : 4 = 1, 1 · 4 = 4, 5 − 4 = 1. Pudotetaan 7: 17 : 4 = 4, 4 · 4 = 16, 17 − 16 = 1.
Lasku tarkistetaan kertolaskulla: jakaja kertaa osamäärä plus jakojäännös on jaettava. Tässä 4 · 214 + 1 = 856 + 1 = 857, joten lasku on oikein. Jos jakojäännös on nolla, jakolasku menee tasan (12 : 3 = 4). Jakojäännöksen merkintätapa ja muut pienet yksityiskohdat vaihtelevat kirjasta toiseen, joten katso lapsesi kirjasta, miten siellä lasketaan, ennen kuin neuvot kotona. Lisää aiheesta oppaassa miten matematiikkaa opetetaan.
Sanallisissa tehtävissä pitää miettiä, mitä jakojäännös tarkoittaa. Jos 30 oppilasta lähtee retkelle pikkubusseilla, joihin mahtuu 8 matkustajaa, 30 : 8 = 3, jakojäännös 6. Busseja tarvitaan siis 4, ei 3. Jos korvapuusti maksaa 3 € ja sinulla on 10 €, voit ostaa 3 korvapuustia, eikä jäljelle jäävä euro riitä neljänteen. Kun desimaaliluvut ovat tuttuja, jakolaskua voi jatkaa desimaaleihin: 30 : 8 = 3,75.
6. Jaollisuus, monikerrat ja tekijät
3.–6. luokalla tutkitaan lukujen rakennetta ja jaollisuutta. Luvun monikerrat ovat sen kertotaulu, joka jatkuu loputtomiin: luvun 6 monikertoja ovat 6, 12, 18, 24 ja niin edelleen. Luku on jaollinen toisella luvulla, jos jakolasku menee tasan. Luvun 12 tekijät ovat 1, 2, 3, 4, 6 ja 12, ja ne tulevat pareittain: 1 · 12, 2 · 6 ja 3 · 4. Monessa kirjassa tulee vastaan myös alkuluku: luku, jolla on täsmälleen kaksi tekijää, 1 ja luku itse. Alle 20:n alkuluvut ovat 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ja 19. Luku 1 ei ole alkuluku, koska sillä on vain yksi tekijä.
Jaollisuussäännöt säästävät laskemista. Luku on jaollinen kahdella, jos se päättyy numeroon 0, 2, 4, 6 tai 8, viidellä, jos se päättyy numeroon 0 tai 5, ja kymmenellä, jos se päättyy nollaan. Luku on jaollinen kolmella, jos sen numeroiden summa on jaollinen kolmella: luvussa 471 on 4 + 7 + 1 = 12, ja todella 471 : 3 = 157.
Yleisiä virheitä
- ”Lisätään nolla”, kun kerrotaan kymmenellä: 25 · 10 = 250 toimii, mutta 2,5 · 10 on 25, ei 2,50. Oikeasti jokainen numero siirtyy yhden paikan vasemmalle, ja nolla täyttää tyhjäksi jääneen ykkösten paikan. Desimaaliluvuilla sama sanotaan usein toisin päin: pilkku siirtyy yhden paikan oikealle.
- Jakolasku väärin päin: 12 : 3 ja 3 : 12 ovat eri laskuja, sillä vaihdannaisuus ei koske jakolaskua. Kysy lapselta: mitä jaetaan, ja moneenko osaan?
- Toinen rivi ei siirry: jos laskussa 234 · 23 rivi 468 kirjoitetaan suoraan rivin 702 alle, summaksi tulee 1170 eikä 5382.
- Nolla unohtuu osamäärästä: laskussa 824 : 4 pudotetaan 2, ja 2 : 4 = 0. Tuo nolla pitää kirjoittaa osamäärään, joten vastaus on 206, ei 26. Tarkistus paljastaa virheen: 4 · 26 = 104, ei 824.
- Liian suuri jakojäännös: 30 : 8 = 2, jakojäännös 14. Jakojäännöksen pitää aina olla jakajaa pienempi. Muuten jakaja mahtuu vielä kerran.
Viiden minuutin pelejä kotiin
- Rivien metsästys. Etsikää kotoa asioita, jotka ovat riveissä. Munakennossa on 2 riviä, joissa on 6 munaa kussakin, eli 2 · 6 = 12. Myös suklaalevy, muffinivuoka ja ikkunan ruudut käyvät.
- Kertotaulupallo. Heitelkää palloa ja luetelkaa samalla kolmen kertotaulua (tai sitä, jota harjoitellaan): kiinniottaja sanoo aina seuraavan luvun, 3, 6, 9…, ja heittää pallon takaisin. Kun päästään lukuun 30, luetellaan takaisin alaspäin.
- Tasan jakaminen. Jakakaa rusinoita, makaroneja tai kolikoita koko perheelle. Jääkö jotain yli? Se on jakojäännös.
- Mistä kertotaulusta? Sano luku, ja lapsi etsii kertotauluista kaikki laskut, joiden tulo se on. Luvusta 24 löytyvät 3 · 8 ja 4 · 6 (ja samat toisin päin).
- Kertotaulumuistipeli. Kirjoita osaan korteista laskuja (7 · 8) ja osaan vastauksia (56). Kääntäkää kortit nurin ja etsikää parit.
Indien haasteIndie leipoi 87 korvapuustia ja pakkaa ne rasioihin, kuusi kuhunkin. Kuinka monta rasiaa hän saa täyteen? Entä kuinka monta rasiaa hän tarvitsee, jotta jokainen korvapuusti pääsee rasiaan? Näytä vastaus
87 : 6 = 14, jakojäännös 3, koska 6 · 14 = 84 ja 87 − 84 = 3. Tarkistus: 6 · 14 + 3 = 87. Indie saa siis 14 rasiaa täyteen, ja 3 korvapuustia jää yli. Jotta kaikki mahtuvat, hän tarvitsee 15 rasiaa, ja viimeiseen rasiaan tulee 3 korvapuustia.
Ilmaiset kerto- ja jakolaskun tehtävämonisteet
Tulosta monisteet harjoitteluun kotona tai koulussa. Jokaisen monisteen toisella sivulla ovat vastaukset.
Kertotaulut 2, 5 ja 102. luokka · Kertolaskuja sekaisinLataa PDF
Kertotaulut 3, 4 ja 82. luokka, 3. luokka · Kertolaskuja sekaisinLataa PDF
Jakolaskut kertotauluilla3. luokka, 4. luokka · Jaa kertotaulujen avullaLataa PDF
Kertolasku allekkain3. luokka, 4. luokka · Kolminumeroinen luku kerrotaan yksinumeroisellaLataa PDFLyhyet vastaukset
Valtakunnallista kertotaulukoetta ei ole, eikä alakoulussa ole muitakaan kansallisia kokeita, jotka kaikki oppilaat tekisivät. Luokanopettaja seuraa kertotaulujen oppimista tunneilla ja omilla kokeillaan, usein oppikirjan luvun päätteeksi. Lue lisää oppaasta kokeet ja arviointi.
10 · 10 asti. Kertotaulut 1–5 ja 10 opetellaan 1.–2. luokalla ja kertotaulut 6–9 3.–6. luokalla, usein jo 3. luokalla. Sen jälkeen varmistetaan, että kaikki kertotaulut 1–10 sujuvat. Yhdentoista ja kahdentoista kertotauluja opetussuunnitelmassa ei ole.
Suomen kouluissa kertolasku kirjoitetaan pisteellä: 3 · 4 = 12. Risti × tarkoittaa täsmälleen samaa, ja sen näkee esimerkiksi laskimissa. Jakomerkkinä käytetään kaksoispistettä: 12 : 3 = 4.
Sitä, että jakojäännös on nolla. 12 : 3 = 4 menee tasan. 13 : 3 ei mene tasan, sillä 13 : 3 = 4, jakojäännös 1. Tarkistus: 3 · 4 + 1 = 13.
Harjoittele Indien kanssa
Beequation Kids tekee peruslaskuista kennopulmia, ja mehiläinen Indie antaa vihjeen, kun lapsi jää jumiin. Ei mainoksia eikä tietojen keruuta.