Beequation
Opi › Aiheet › Algebra ja yhtälöt
Aiheopas
Algebra ja yhtälöt
Algebra on matematiikkaa, jossa on mukana tuntematon luku. Alakoulussa se alkaa tyhjänä ruutuna, joka pitää täyttää: 7 + □ = 10. Myöhemmin ruudun paikalle tulee usein kirjain, esimerkiksi x + 3 = 10, ja tällaista lausetta kutsutaan yhtälöksi. Algebraan kuuluu myös säännönmukaisuuksien etsiminen: mikä sääntö lukujonossa toistuu, ja mikä luku tulee seuraavaksi? Samaa ajattelua tarvitaan, kun resepti muutetaan useammalle hengelle tai luetaan kartan mittakaavaa, ja kun kirjoitetaan tietokoneelle vaiheittaisia ohjeita eli ohjelmoidaan.
Suomessa ohjelmointi on osa matematiikan opetusta. Algebra on oma sisältöalueensa vasta 3.–6. luokalla, mutta sen pohjaa rakennetaan jo esiopetuksessa ja 1.–2. luokalla, kun lapset etsivät toistuvia kuvioita ja täydentävät laskuista puuttuvia lukuja.
Mitä millä luokalla opitaan
Valtakunnallisessa opetussuunnitelmassa (Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet 2014) 1.–2. luokan säännönmukaisuudet ja ohjelmoinnin alkeet kuuluvat ajattelun taitoihin. Vuosiluokille 3–6 tulee oma algebran sisältöalue: ”Tutkitaan lukujonon säännönmukaisuutta sekä jatketaan lukujonoa säännön mukaan. Tutustutaan tuntemattoman käsitteeseen. Tutkitaan yhtälöä ja etsitään yhtälön ratkaisuja päättelemällä ja kokeilemalla.” Tarkka jako vuosiluokille vaihtelee kunnan opetussuunnitelman ja oppikirjan mukaan, joten taulukko kertoo, mitä tavallisesti tehdään.
| Luokka | Mitä yleensä opitaan |
|---|---|
| Esiopetus | Toistuvien kuvioiden eli säännönmukaisuuksien havaitseminen, jatkaminen ja keksiminen (punainen, sininen, punainen, sininen…). Esineiden luokittelu, vertailu ja järjestäminen leikin ja arjen lomassa. |
| 1. luokka | Kuvio- ja lukujonot. Lukujen 1–10 hajotelmat, joissa yksi osa puuttuu: 7 + □ = 10. Merkit =, < ja >. Parilliset ja parittomat luvut. Ohjelmoinnin alkeet: vaiheittaisia toimintaohjeita, joita myös testataan. |
| 2. luokka | Puuttuva luku yhteen- ja vähennyslaskussa lukualueella 0–100, yhteen- ja vähennyslaskun yhteyden avulla: □ + 6 = 15. Lukujonoja kahden, viiden ja kymmenen välein kertotaulujen rinnalla. Kasvavat kuviojonot. |
| 3. luokka | Algebran sisältöalue alkaa. Lukujonon säännön etsiminen ja jonon jatkaminen, myös satojen välein. Puuttuva luku kaikissa neljässä laskutoimituksessa: □ · 4 = 32. Ohjelmointia graafisessa ohjelmointiympäristössä, esimerkiksi Scratchissa. |
| 4. luokka | Lukujonot suuremmilla luvuilla ja usein myös taaksepäin nollan ohi negatiivisiin lukuihin, kuten lämpömittarissa: 6, 3, 0, −3. Tuntematon kahden laskutoimituksen lauseessa: 3 · □ + 2 = 20. |
| 5. luokka | Yksinkertaiset yhtälöt, joissa tuntematonta merkitään usein kirjaimella: x + 5 = 12, 4 · x = 28. Mittakaava suurennoksissa, pienennöksissä ja kartoissa. Prosentit, jotka nekin kertovat suhteesta: 20 % on 20 sadasta. |
| 6. luokka | Yhtälöiden ratkaiseminen päättelemällä ja kokeilemalla. Lukujonon säännön kuvaaminen omin sanoin ja kaukaisemman jäsenen päätteleminen säännön avulla. Mittakaava kartoissa ja pohjapiirroksissa. Kaavat sanoin ja kirjaimin, esimerkiksi suorakulmion piiri ja pinta-ala. |
Keskeiset ideat
1. Yhtäsuuruusmerkki tarkoittaa ”on yhtä suuri kuin”
Moni lapsi ajattelee, että merkki = tarkoittaa ”ja vastaus on”. Se toimii laskussa 3 + 5 = 8, mutta ei enää, kun lasku onkin 8 = 3 + 5 tai 6 + □ = 4 + 5. Ajattele vaakaa: molempien puolten täytyy painaa yhtä paljon. 4 + 5 on 9, joten myös 6 + □ on 9, ja ruutuun tulee 3.
2. Käänteinen laskutoimitus purkaa laskun
Yhteen- ja vähennyslasku kumoavat toisensa, samoin kerto- ja jakolasku. Ne ovat toistensa käänteisiä laskutoimituksia, ja niiden avulla ratkeavat useimmat puuttuvan luvun tehtävät. Tehtävässä □ − 9 = 7 kysytään: ”Mistä luvusta pitää vähentää 9, jotta jää 7?” Lisätään vähennetty 9 takaisin: 7 + 9 = 16. Tehtävässä □ · 4 = 32 jaetaan: 32 : 4 = 8. Lopuksi tehdään tarkistus sijoittamalla vastaus paikalleen: 16 − 9 = 7 ja 8 · 4 = 32. Sama tarkistus on lapselle tuttu jo vähennyslaskusta, joka tarkistetaan yhteenlaskulla.
3. Lukujono noudattaa sääntöä
Lukujono on jono lukuja (tai kuvioita), joka noudattaa jotakin sääntöä. Pienimmät jatkavat kuvioita ja laskevat kahden tai viiden välein. Isommat etsivät säännön, kertovat sen omin sanoin ja jatkavat jonoa: ”jatka lukujonoa” on tuttu tehtävä matikan kirjasta. Jono voi myös pienetä ja jatkua nollan ohi: 10, 7, 4, 1, −2 (sääntö ”vähennä 3”). Joissakin 5.–6. luokan tehtävissä päätellään kaukainen jäsen laskematta koko jonoa. Jonossa 3, 7, 11, 15, 19 jokainen luku saadaan kertomalla sen järjestysnumero 4:llä ja vähentämällä 1 (ensimmäinen 4 · 1 − 1 = 3, toinen 4 · 2 − 1 = 7), joten kymmenes luku on 4 · 10 − 1 = 39.
4. Tuntematon ja yhtälö
Kun puuttuva luku merkitään kirjaimella, saadaan yhtälö. x + 5 = 12 tarkoittaa ”jokin luku plus 5 on 12”, joten x = 7. Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa sen luvun löytämistä, joka tekee yhtälöstä totta. Alakoulussa se tehdään opetussuunnitelman sanoin ”päättelemällä ja kokeilemalla” eikä yläkoulun tapaan yhtälöä muokkaamalla. Yhtälössä 3 · x + 2 = 20 lapsi voi kokeilla: jos x = 5, vasemmalle puolelle tulee 3 · 5 + 2 = 17, mikä on liian vähän. Jos x = 6, tulee 3 · 6 + 2 = 20, joten x = 6. Tai hän voi päätellä: kun 2 lisätään ja tulos on 20, ennen lisäystä oli 18, ja 18 : 3 = 6.
Joillakin yhtälöillä on monta ratkaisua. Yhtälössä a + b = 10 luvut voivat olla 1 ja 9, 2 ja 8, 3 ja 7 ja niin edelleen. Ne ovat tuttuja kymppipareja. Kirjaimia käytetään myös kaavoissa eli laskusäännöissä. Suorakulmion piiri on 2 · (pituus + leveys), joten 7 cm pitkän ja 4 cm leveän suorakulmion piiri on 2 · (7 cm + 4 cm) = 22 cm. Sen pinta-ala on pituus · leveys = 7 cm · 4 cm = 28 cm².
Lue yhtäsuuruusmerkki joskus ääneen muodossa ”on yhtä suuri kuin”, ja kirjoita laskuja välillä ”väärin päin”: 10 = 4 + □. Lapsi, joka on nähnyt vastauksen aina oikealla puolella, jää helposti jumiin, kun vastaus ensimmäisen kerran onkin vasemmalla. Tottumuksesta on myöhemmin vaikea päästä eroon.
5. Ohjelmointi: ohjeet vaihe vaiheelta
Ohjelmointi alkaa 1.–2. luokalla usein ilman tietokonetta. Lapset laativat vaiheittaisia toimintaohjeita ja testaavat niitä, esimerkiksi ohjaavat luokkakaveria ruudukolla käskyillä ”kaksi askelta eteen, käänny oikealle”. 3.–6. luokalla ohjelmia suunnitellaan ja tehdään graafisessa ohjelmointiympäristössä, jossa käskyt ovat palikoita. Ohje ”toista 4 kertaa: liiku 3 askelta, käänny 90 astetta oikealle” piirtää neliön. Tässä on paljon samaa kuin algebrassa: huomataan toistuva osa, kirjoitetaan sääntö kerran ja käytetään sitä monta kertaa. Kun ohjelma ei toimi, etsitään virhe ja korjataan, ja sekin on matemaattista päättelyä.
6. Kaksinkertainen määrä, kaksinkertainen hinta
Jos yksi pulla maksaa 2,50 €, kolme pullaa maksaa 7,50 € ja kuusi pullaa 15,00 €. Kun pullien määrä kaksinkertaistuu, myös hinta kaksinkertaistuu. Yläkoulussa tällaisia suureita kutsutaan suoraan verrannollisiksi. Alakoulussa nimeä ei tarvita, mutta ajattelu on tuttua sanallisista tehtävistä. Usein kannattaa laskea ensin yhden hinta: jos 3 vihkoa maksaa 4,50 €, yksi maksaa 4,50 € : 3 = 1,50 €, ja 5 vihkoa maksaa 5 · 1,50 € = 7,50 €. Yhtä tärkeää on tunnistaa tilanne, jossa näin ei käy: lapsi, joka on 6-vuotiaana 1,20 m pitkä, ei ole 12-vuotiaana 2,40 m. Myös prosentit perustuvat samaan ajatukseen: 20 % tarkoittaa 20:tä jokaista sataa kohden.
Kun reseptiä muutetaan useammalle hengelle, jokainen aine kerrotaan samalla luvulla. Tässä neljän hengen lettutaikina muutetaan kuudelle. Kun lasketaan ensin kahdelle (jaetaan 2:lla) ja sitten kuudelle (kerrotaan 3:lla), luvut pysyvät mukavina:
| Aine | 4 hengelle | 2 hengelle (: 2) | 6 hengelle (· 3) |
|---|---|---|---|
| Maitoa | 6 dl | 3 dl | 9 dl |
| Vehnäjauhoja | 3 dl | 1,5 dl | 4,5 dl |
| Munia | 2 | 1 | 3 |
7. Mittakaava: pienennetty ja suurennettu kuva
Mittakaava kertoo, kuinka paljon kuvaa on pienennetty tai suurennettu, ja kaikki mitat muuttuvat samassa suhteessa. Mittakaava 1 : 100 (luetaan ”yksi sataan”) tarkoittaa, että 1 cm piirroksessa on 100 cm eli 1 m todellisuudessa. Retkikartassa mittakaava voi olla 1 : 50 000. Silloin 1 cm kartalla on 50 000 cm eli 500 m maastossa, ja kartalla 6 cm pitkä matka mökiltä uimarannalle on 3 km. Suurennoksessa ensimmäinen luku on suurempi: mittakaavassa 2 : 1 kuvan jokainen mitta on kaksinkertainen todelliseen verrattuna, joten 3 cm pitkä kovakuoriainen on kuvassa 6 cm.
Yleisiä virheitä
- Merkki = luetaan ”vastaus on”: laskuun 4 + 5 = □ + 2 kirjoitetaan ruutuun 9, vaikka oikea luku on 7.
- Väärä käänteinen laskutoimitus: tehtävässä □ − 9 = 7 lasketaan 9 − 7 = 2, vaikka pitäisi laskea 7 + 9 = 16. Tarkistus paljastaa virheen: 2 − 9 ei ole 7.
- Kirjaimen luullaan tarkoittavan esinettä: ”o on omena”. Kirjain on aina jonkin luvun paikalla, eikä sama kirjain tarkoita joka tehtävässä samaa lukua.
- Lisätään, vaikka pitäisi kertoa: neljän hengen resepti muutetaan kuudelle lisäämällä jokaista ainetta kahdella, esimerkiksi 2 munasta tulee 4 munaa, vaikka oikein on 3.
- Mittakaavan yksiköt sekaisin: mittakaavassa 1 : 50 000 luullaan, että 1 cm kartalla on 50 000 m eli 50 km. Oikeasti se on 50 000 cm eli 500 m. Yksikkö kannattaa kirjoittaa näkyviin ja muuttaa senttimetrit metreiksi vaihe kerrallaan.
- Sääntö arvataan kahdesta ensimmäisestä luvusta: jono 2, 4, … voi jatkua 6, 8 (lisää 2) tai 8, 16 (kerro 2:lla). Sääntö pitää tarkistaa koko jonosta.
Viiden minuutin pelejä kotiin
- Mukin alla. Laita pöydälle 10 nappulaa tai rusinaa, piilota osa mukin alle ja kysy, montako on piilossa. ”Näen 6, joten mukin alla on 4.”
- Ajattelen luvun. ”Ajattelen luvun, lisään siihen 5 ja saan 12. Mikä lukuni oli?” Vaihtakaa sitten vuoroa, ja lapsi keksii arvoituksen sinulle.
- Lukukone. Lapsi sanoo luvun, ja sinä kerrot sen salaa 2:lla, lisäät 1 ja sanot tuloksen: 3 antaa 7, 5 antaa 11. Kumpi keksii koneen säännön ensin?
- Robottipeli. Lapsi ohjelmoi ja sinä olet robotti. Hänen pitää ohjata sinut ovelta sohvalle pelkillä käskyillä, kuten ”kolme askelta eteen” ja ”käänny vasemmalle”. Jos robotti törmää, ohjelma korjataan.
- Mehukannu. Mehutiivisteen ohjeessa lukee: 1 osa tiivistettä ja 4 osaa vettä. Paljonko tiivistettä tarvitaan litran kannuun? (1 l = 10 dl ja osia on 5, joten yksi osa on 2 dl: 2 dl tiivistettä ja 8 dl vettä.)
Indien haasteIndie rakentaa jäätelötikuista rivin kuusikulmaisia kennoja. Vierekkäiset kennot jakavat yhden sivun. Yhteen kennoon tarvitaan 6 tikkua, kahteen 11 ja kolmeen 16. Montako tikkua tarvitaan 10 kennon riviin? Näytä vastaus
Ensimmäiseen kennoon tarvitaan 6 tikkua. Jokainen uusi kenno jakaa sivun edellisen kanssa, joten siihen tarvitaan 5 tikkua lisää. 10 kennon riviin tarvitaan 6 + 9 · 5 = 6 + 45 = 51 tikkua. Sääntönä: tikkuja = 5 · kennoja + 1, ja 5 · 10 + 1 = 51. Huomaa, että kaksi kennoa ei vaadi kaksinkertaista määrää tikkuja (12), vaan 11, koska yksi sivu on yhteinen.
Ilmaiset tehtävämonisteet: algebra ja yhtälöt
Tulosta monisteet harjoitteluun kotona tai koulussa. Jokaisen monisteen toisella sivulla ovat vastaukset.
Puuttuva luku4. luokka, 5. luokka, 6. luokka · Mikä luku tulee ruutuun?Lataa PDFLyhyet vastaukset
Algebra on opetussuunnitelmassa oma sisältöalueensa 3.–6. luokalla. Ajattelu alkaa kuitenkin jo esiopetuksessa toistuvista kuvioista ja 1. luokalla puuttuvista luvuista, kuten 7 + □ = 10. Yhtälöitä, joissa on kirjain, tulee yleensä vastaan 5.–6. luokalla.
Lause, jossa yhtäsuuruusmerkin molemmilla puolilla on yhtä suuri määrä ja jossa on mukana tuntematon luku. Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa tuntemattoman luvun löytämistä: yhtälössä 4 · x = 28 on x = 7, koska 4 · 7 = 28.
Piirroksen tai kartan 1 cm on todellisuudessa 100 cm eli 1 m. Kaikki mitat on pienennetty sadasosaan, joten piirroksessa 8 cm pitkä seinä on oikeasti 8 m pitkä.
Kuuluu. Opetussuunnitelmassa ohjelmointi on osa matematiikkaa: 1.–2. luokalla laaditaan ja testataan vaiheittaisia toimintaohjeita, ja 3.–6. luokalla tehdään ohjelmia graafisessa ohjelmointiympäristössä.
Harjoittele Indien kanssa
Beequation Kids tekee peruslaskuista kennopulmia, ja mehiläinen Indie antaa vihjeen, kun lapsi jää jumiin. Ei mainoksia eikä tietojen keruuta.