Beequation
Opi › Aiheet › Tilastot ja diagrammit
Aiheopas
Tilastot ja diagrammit
Tilastoissa kerätään tietoa, jotta saadaan vastaus johonkin kysymykseen, esimerkiksi ”Mikä on luokkamme lempikouluruoka?”. Kerättyä tietoa sanotaan aineistoksi. Se on yleensä joukko lukuja tai vastauksia, joita voi laskea. Taulukot ja diagrammit järjestävät aineiston niin, että vastaus ja muut kiinnostavat asiat näkyvät nopeasti. Opetussuunnitelmassa aiheen nimi on tietojenkäsittely ja tilastot, ja 3. luokalta alkaen siihen kuuluu myös todennäköisyys. Aihe alkaa jo 1. luokalla.
Mitä millä luokalla opitaan
Valtakunnallinen opetussuunnitelma (Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet 2014) kuvaa sisällöt kahdessa jaksossa. Vuosiluokilla 1–2 kerätään tietoa ja ”laaditaan ja tulkitaan yksinkertaisia taulukoita ja pylväsdiagrammeja”. Vuosiluokilla 3–6 mukaan tulevat monenlaiset diagrammit, aineiston suurin ja pienin arvo, keskiarvo ja tyyppiarvo sekä todennäköisyys: onko tapahtuma mahdoton, mahdollinen vai varma. Tarkka jako vuosiluokille vaihtelee kunnan opetussuunnitelman ja oppikirjan mukaan, joten taulukko kertoo, mitä tavallisesti tehdään.
| Luokka | Mitä yleensä opitaan |
|---|---|
| Esiopetus | Diagrammeja ei vielä tehdä, mutta pohja rakentuu leikissä. Lapset luokittelevat, vertailevat ja järjestävät esineitä (lelut värin mukaan, napit koon mukaan), laskevat, montako kussakin ryhmässä on, ja puhuvat siitä, missä on enemmän, vähemmän tai yhtä monta. |
| 1. luokka | Tiedon kerääminen omasta luokasta, esimerkiksi ”Miten tulet kouluun?”. Vastausten lajittelu ja laskeminen. Yksinkertaiset taulukot ja ensimmäiset pylväsdiagrammit, joissa yksi ruutu tarkoittaa yhtä oppilasta. Usein myös kuvadiagrammeja. |
| 2. luokka | Taulukoiden ja pylväsdiagrammien lukeminen ja tekeminen. Ryhmien vertailu ja järjestäminen suurimmasta pienimpään, yhteismäärä sekä kysymykset ”kuinka monta enemmän?” ja ”kuinka monta vähemmän?”. |
| 3. luokka | Tukkimiehen kirjanpito ja frekvenssitaulukko. Pylväsdiagrammit, joiden asteikko etenee esimerkiksi kahden, viiden tai kymmenen välein, ja kuvadiagrammit, joissa yksi kuva tarkoittaa useampaa. Kaksivaiheiset kysymykset diagrammin pohjalta. |
| 4. luokka | Viivadiagrammi, joka näyttää muutoksen, esimerkiksi lämpötilan vaihtelun. Aineiston suurin ja pienin arvo. Todennäköisyyden sanat: mahdoton, mahdollinen ja varma. |
| 5. luokka | Sektoridiagrammi (ympyrädiagrammi), joka näyttää, kuinka suuri osa kokonaisuudesta kukin ryhmä on. Keskiarvo ja tyyppiarvo. Tiedon kerääminen esimerkiksi oman kyselyn avulla ja tulosten esittäminen. |
| 6. luokka | Keskiarvon ja tyyppiarvon varmistaminen, ja usein myös mediaani ja vaihteluväli. Sopivan diagrammin valitseminen sekä taulukoiden ja diagrammien tulkinta. Todennäköisyyksien vertailu: kumpi on todennäköisempää? |
Keskeiset ideat
1. Kaikki alkaa kysymyksestä
Diagrammi ei ole koristekuva, vaan se vastaa aina johonkin kysymykseen. Työ etenee kehänä: ensin kysytään, sitten kerätään tieto, järjestetään se, esitetään se taulukkona tai diagrammina ja lopuksi tulkitaan tulos. Usein vastaus herättää uuden kysymyksen, ja kehä alkaa alusta. Anna lapsesi valita kysymys itse, esimerkiksi ”Minkävärinen auto ajaa useimmin talomme ohi?”. Silloin kaikki muukin alkaa kiinnostaa.
2. Tukkimiehen kirjanpito: viiden nippuja
Tukkimiehen kirjanpidossa jokaisesta vastauksesta vedetään yksi pystyviiva sitä mukaa kuin vastauksia tulee. Viides viiva vedetään vinottain neljän edellisen yli, jolloin syntyy viiden nippu. Kun viivat lasketaan yhteen, niput lasketaan viisi kerrallaan ja lopuksi lisätään yksittäiset viivat. Kolme nippua ja kaksi viivaa: 5, 10, 15, 16, 17.
Tulokset kootaan usein frekvenssitaulukkoon. Siinä on sarake vastauksille, sarake viivoille ja sarake lukumäärälle. Lukumäärää eli sitä, kuinka monta kertaa jokin vastaus esiintyy, sanotaan frekvenssiksi.
3. Lue aina selite ja asteikko
Ensimmäisissä kuvadiagrammeissa ja pylväsdiagrammeissa yksi kuva tai yksi ruutu tarkoittaa yhtä. Myöhemmin yksi kuva voi tarkoittaa useampaa. Jos selite kertoo, että yksi hymynaama on 2 oppilasta, puolikas naama on 1 oppilas ja kolme ja puoli naamaa on 7 oppilasta. Pylväsdiagrammin pystyakselin asteikko voi edetä kahden, viiden tai kymmenen välein. Silloin pylväs, joka päättyy 10:n ja 20:n puoliväliin, kuvaa lukua 15. Minkä tahansa diagrammin äärellä ensimmäinen kysymys kuuluu siis: mitä yksi kuva tai yksi asteikon väli tarkoittaa?
Kysy jokaisesta diagrammista kolmenlaisia kysymyksiä. Lue: ”Kuinka moni valitsi kalapuikot?” Vertaa: ”Kuinka monta oppilasta enemmän valitsi lasagnen kuin kalapuikot?” Pohdi: ”Miksi lasagne on niin suosittu? Saisiko rinnakkaisluokka saman tuloksen?” Kolmas laji jää helposti vähimmälle, vaikka juuri siinä ymmärrys näkyy parhaiten.
4. Viivadiagrammi näyttää muutoksen
Viivadiagrammi näyttää, miten jokin muuttuu, yleensä ajan kuluessa: lämpötila päivän mittaan tai auringonkukan pituus viikko viikolta. Pisteet yhdistetään viivalla, koska myös mittausten väliset arvot ovat olemassa. Lämpötilalla oli jokin arvo myös klo 10.30, vaikka kukaan ei silloin mitannut sitä. Siksi lempiruokadiagrammin pylväitä ei yhdistetä viivalla: lihapullien ja kalapuikkojen välissä ei ole mitään.
Suomen talvessa viivadiagrammi on samalla negatiivisten lukujen harjoitusta. Pakkasasteet tulevat koulussa vastaan yleensä 4. luokalla. Mitä alempana piste on, sitä kylmempää on, joten −8 °C on kylmempi lukema kuin −5 °C.
5. Sektoridiagrammi näyttää osuudet (yleensä 5. luokalla)
Sektoridiagrammi on ympyrä, joka on jaettu sektoreihin. Jokainen sektori näyttää, kuinka suuri osa kokonaisuudesta kyseinen ryhmä on. Esimerkiksi 20 viidesluokkalaista kertoi tärkeimmän harrastuksensa:
| Harrastus | Oppilaita | Osuus | Prosentteina | Sektorin kulma |
|---|---|---|---|---|
| Jalkapallo | 5 | ⁵⁄₂₀ = ¼ | 25 % | 90° |
| Uinti | 8 | ⁸⁄₂₀ = ⅖ | 40 % | 144° |
| Salibandy | 4 | ⁴⁄₂₀ = ⅕ | 20 % | 72° |
| Musiikki | 3 | ³⁄₂₀ | 15 % | 54° |
| Yhteensä | 20 | 1 | 100 % | 360° |
Ympyrässä on 360°, joten jokaista oppilasta kohden tulee 360° : 20 = 18°. Jalkapalloa harrastavan viiden oppilaan sektori on 5 · 18° = 90°, uinnin kahdeksan oppilaan 8 · 18° = 144° ja niin edelleen. Sektorit piirretään astelevyn avulla. Usein valmista sektoridiagrammia myös luetaan ja osuuksia arvioidaan silmämääräisesti: tuo sektori on noin neljäsosa, tuo vähän alle puolet. Sektoridiagrammissa tarvitaan siis monta aiempaa taitoa, ja siksi se tulee vastaan vasta, kun murtoluvut, prosentit ja kulmat ovat tuttuja.
6. Keskiarvo, tyyppiarvo ja muut tunnusluvut
Tyyppiarvo on aineiston yleisin arvo eli se, joka esiintyy useimmin. Lempiruokadiagrammissa tyyppiarvo on lasagne, ei 8. Luku 8 on lasagnen frekvenssi eli se, kuinka moni sen valitsi. Tyyppiarvon voi määrittää myös vastauksista, jotka eivät ole lukuja.
Keskiarvo saadaan, kun kaikki arvot lasketaan yhteen ja summa jaetaan arvojen lukumäärällä. Onni teki viidessä salibandyottelussa 2, 1, 7, 1 ja 4 maalia. Yhteensä maaleja tuli 2 + 1 + 7 + 1 + 4 = 15, ja 15 : 5 = 3. Onnin keskiarvo on siis 3 maalia ottelua kohden. Keskiarvoa voi ajatella tasajakona: jos kaikki maalit jaettaisiin tasan viiden ottelun kesken, jokaiseen tulisi 3. Saman aineiston tyyppiarvo on 1, koska se esiintyy kahdesti. Kuudennen luokan valtakunnallisissa arviointikriteereissä arvosanan 7 kuvauksessa todetaan, että oppilas ”osaa määrittää tyyppiarvon ja laskea keskiarvon”.
Usein 6. luokalla opitaan myös mediaani ja vaihteluväli. Mediaani on keskimmäinen arvo, kun arvot on järjestetty suuruusjärjestykseen. Onnin maalit järjestyksessä ovat 1, 1, 2, 4 ja 7, joten mediaani on 2. Vaihteluväli kertoo pienimmän ja suurimman arvon: Onnin maalimäärien vaihteluväli on 1–7. Joissakin kirjoissa lasketaan myös niiden erotus, 7 − 1 = 6.
7. Mahdoton, mahdollinen vai varma?
Todennäköisyys alkaa sanoista. Kun heität tavallista noppaa, on varmaa, että silmäluku on pienempi kuin 7. On mahdollista, että saat viitosen, ja mahdotonta, että saat kahdeksikon. Sen jälkeen vertaillaan, mikä on todennäköistä ja mikä epätodennäköistä: tammikuussa Rovaniemellä lumisade on paljon todennäköisempää kuin helle. Joissakin kirjoissa 6. luokalla todennäköisyys kirjoitetaan jo murtolukuna. Nopan kuudesta silmäluvusta kolme on parillisia (2, 4 ja 6), joten parillisen luvun todennäköisyys on ³⁄₆ eli ½. Kokeilemalla lapsi huomaa, ettei ½ tarkoita, että joka toinen heitto on parillinen. Pitkässä heittosarjassa parillisia tulee kuitenkin noin puolet.
Yleisiä virheitä
- Asteikko unohtuu: jokainen asteikon väli lasketaan yhdeksi, vaikka asteikko etenee kahden tai viiden välein.
- Selite jää lukematta: kuvadiagrammin kuvat lasketaan yksi kerrallaan, vaikka yksi kuva tarkoittaa 2 tai 10.
- Tukkimiehen kirjanpito väärin: viiden nippu luetaan neljäksi tai kuudeksi, tai viides viiva piirretään pystyyn muiden viereen.
- Epätasainen asteikko omassa diagrammissa: luvut 0, 5, 10 ja 20 merkitään akselille yhtä kauas toisistaan, tai pylväät eivät ala nollasta.
- Pisteet yhdistetään joka paikassa: viiva vedetään pylväiden huippujen kautta, vaikka ryhmien välissä ei ole mitään.
- Tyyppiarvo ja frekvenssi sekaisin: sanotaan, että tyyppiarvo on 8, vaikka se on lasagne.
- Keskiarvossa jaetaan väärällä luvulla: arvojen 0, 5 ja 7 keskiarvo on 12 : 3 = 4, ei 12 : 2 = 6. Nollakin on arvo.
- Pakkasasteet väärin päin: −8 °C luullaan lämpimämmäksi kuin −5 °C, koska 8 on enemmän kuin 5.
- Sektoridiagrammeja verrataan, vaikka kokonaismäärät ovat erisuuret: puolet 100 ihmisestä (50) on enemmän kuin puolet 20 ihmisestä (10), vaikka sektorit näyttävät yhtä suurilta.
Viiden minuutin pelejä kotiin
- Autojen värit. Automatkalla tai ikkunasta lapsi pitää tukkimiehen kirjanpitoa 30 seuraavan auton väreistä. Mikä väri voitti? Kuinka monella autolla?
- Perhekysely. Lapsi keksii kysymyksen (”Mikä on paras pulla?”), kysyy kaikilta mummoa ja ukkia myöten ja piirtää pylväsdiagrammin jääkaapin oveen.
- Sääseuranta. Katsokaa ulkolämpömittaria viikon ajan joka päivä samaan aikaan ja piirtäkää lukemista viivadiagrammi. Talvella mukaan tulevat pakkasasteet.
- Päivän pituus. Katsokaa sääsovelluksesta kerran kuussa, milloin aurinko nousee ja laskee, ja laskekaa päivän pituus. Merkitkää tulokset viivadiagrammiin ja seuratkaa, miten viiva laskee kohti joulua ja nousee kohti juhannusta.
- Sarjataulukko. Tutkikaa yhdessä jonkin sarjan taulukkoa tai tehkää oma välituntiturnauksesta. Jos voitosta saa 3 pistettä ja tasapelistä 1, montako pistettä kullakin joukkueella on? Paljonko maaleja tehtiin keskimäärin ottelua kohden?
- Nopan keskiarvo (5.–6. luokka). Lapsi heittää noppaa viisi kertaa ja laskee silmälukujen keskiarvon. Sitten uudestaan. Pysyykö keskiarvo suunnilleen samana?
Indien haasteIndie teki kuvadiagrammin siitä, millä kukilla pesän mehiläiset kävivät. Selitteen mukaan yksi hunajapurkki tarkoittaa 4 mehiläistä. Päivänkakkaroiden rivillä on kolme ja puoli purkkia ja voikukkien rivillä kaksi purkkia. Kuinka monta mehiläistä kävi päivänkakkaroilla? Kuinka monta enemmän kuin voikukilla? Näytä vastaus
Kolme kokonaista purkkia on 3 · 4 = 12 mehiläistä, ja puolikas purkki on puolet neljästä eli 2 mehiläistä. Päivänkakkaroilla kävi siis 12 + 2 = 14 mehiläistä. Voikukilla kävi 2 · 4 = 8 mehiläistä, joten päivänkakkaroilla kävi 14 − 8 = 6 mehiläistä enemmän.
Ilmaiset tehtävämonisteet: tilastot ja diagrammit
Tulosta monisteet harjoitteluun kotona tai koulussa. Jokaisen monisteen toisella sivulla ovat vastaukset.
Pylväsdiagrammin lukeminen2. luokka, 3. luokka · Kysely lempihedelmistäLataa PDFLyhyet vastaukset
Se on tapa laskea asioita sitä mukaa kuin niitä tulee vastaan. Jokaisesta vastauksesta vedetään yksi viiva, ja joka viides viiva vedetään vinottain neljän edellisen yli. Lopuksi niput lasketaan viisi kerrallaan.
Otetaan esimerkiksi luvut 2, 3, 3, 5 ja 7. Tyyppiarvo on yleisin arvo, 3. Keskiarvo on summa jaettuna arvojen lukumäärällä, 20 : 5 = 4. Mediaani on suuruusjärjestyksessä keskimmäinen arvo, 3. Keskiarvo ja tyyppiarvo kuuluvat valtakunnalliseen opetussuunnitelmaan 3.–6. luokalle, ja mediaani on mukana joissakin kuntien opetussuunnitelmissa, yleensä 5. tai 6. luokalla.
Kuvadiagrammissa määrät näytetään kuvina, ja selite kertoo, montako yksi kuva tarkoittaa. Pylväsdiagrammissa pylvään korkeus luetaan pystyakselin asteikolta. Ensimmäisissä diagrammeissa 1. ja 2. luokalla yksi kuva tai ruutu tarkoittaa yhtä, ja myöhemmin yksi kuva tai asteikon väli voi tarkoittaa esimerkiksi kahta, viittä tai kymmentä.
Pylväsdiagrammi sopii ryhmien vertailuun: lempiruoat, harrastukset, autojen värit. Viivadiagrammi sopii, kun seurataan, miten jokin muuttuu ajan kuluessa, kuten lämpötila tai pituus. Viivalla yhdistetään vain sellaisia pisteitä, joiden välissäkin on arvoja.
Yleensä 5. luokalla (11–12-vuotiaana), kun murtoluvut, prosentit ja kulmien mittaaminen astelevyllä ovat jo tuttuja. Tarkka ajankohta riippuu kunnan opetussuunnitelmasta ja oppikirjasta.
Harjoittele Indien kanssa
Beequation Kids tekee peruslaskuista kennopulmia, ja mehiläinen Indie antaa vihjeen, kun lapsi jää jumiin. Ei mainoksia eikä tietojen keruuta.